[ Bojan Basic @ 23.11.2003. 11:09 ] @
Problem podele ugla na tri dela šestarom i lenjirom mnogo vekova bio je izazov najvećim matematičarima svoga vremena, sve dok nije dokazano da je to nemoguće učiniti. Mnogi još uvek pokušavaju da obore dokaz, ali dok neko ne uspe (u šta čisto sumnjam da će se dogoditi) izložiću jedan metod kojim se ovo može učiniti sa teorijskom greškom u najgorem slučaju 0.5% - ovo je zanemarljivo, pogotovo kad se u obzir uzme debljina olovke i greške nastale drugim nepreciznostima pribora. Posebno je zanimljiva činjenica da se dotična greška dodatnim komplikovanjem postupka može umanjiti proizvoljan broj puta, tako da svako može da nađe dovoljno preciznu konstrukciju za sebe.

Metod je vrlo jednostavan, i tako ću pokušati i da ga izložim:
1) Ukoliko je ugao veći od oduzmemo dovoljan broj puta da bi dobili oštar ugao koji dalje delimo, a ugao od je lako podeliti na 3 dela, jer je svaki deo i moguće ga je konstruisati.
2) Na oba kraka ugla nanesemo tri puta proizvoljnu dužinu dobijajući tako tačke na jednom i na drugom kraku ugla, repektivno.
3) Podelimo kružni luk na dva dela. Neka je sredina tačka .
4) Neka je tačka na luku takva da je . Dokazaću da je .

Dokaz:
Ukoliko je dužina tetive koja odgovara centralnom uglu u krugu poluprečnika , poznato je da važe sledeće formule:


Dalje je računica prosta:

Da bismo dobili relativnu grešku u odnosu na početni ugao, oduzećemo vrednost ovog ugla od trećine vrednosti početnog, i to sve podeliti sa početnim. Drugim rečima, greška je vrednost funkcije:

Grafik te funkcije izgleda ovako:

Kao što vidimo, što je ugao veći veća je i greška, i teži ka 0.005 (jer smo pretpostavili da je ugao oštar), što je približno jednako 0.5%. Ovo se može još smanjiti tako što u prvom koraku ne posmatramo uglove manje od nego od , jer se svaki ugao oblika može tačno podeliti na 3 dela (dobije se . što je moguće konstruisati), i možemo dobiti proizvoljno malu grešku za dovoljno veliko .
[ darkosos @ 25.11.2003. 17:25 ] @
Veoma interesantno! Kako izgleda apsolutna greška?
Probaću da malo analiziram funkciju. Bilo bi interesantno ako bi mogle da se izvedu pouke za neke druge x-ekcije.
[ stalker @ 25.11.2003. 18:20 ] @
Svaka cast!!!
Ne znam jel si ti ovo provalio, ali ukoliko jesi, cirka zasluzujes da osvojis tu olimpijadu
[ Bojan Basic @ 25.11.2003. 20:43 ] @
Hvala na pohvalama, drago mi je što vam se sviđa.

darkosos, grafik apsolutne greške izgleda ovako:

Nije komplikovano ni izvesti x-sekciju, samo naneseš duž x puta umesto 3, jedino se povećava greška, ali kao što rekoh može se proizvoljno smanjiti.

stalker, iskreno da ti kažem mada mi mnogi neće verovati, do ove konstrukcije sam sam došao u 6. razredu osnovne škole. Radilo se o tome da mi je nastavnik stalno postavljao razne zadatke, a ovog puta mi je obećao peticu za kraj godine ako šestarom i lenjirom podelim ugao na tri jednaka dela. Ne znajući da je to nemoguće, posle dužeg igranja došao sam do ovoga, i bio uveren da je to tačna konstrukcija, jer sam prevideo da iako su dužine tetive iste, dužine lukova se ipak razlikuju, na šta mi je nastavnik tada ukazao. Tako je propala moja konstrukcija, jedino sam upamtio da je praktično davala izuzetne rezultate, ne znajući da objasnim zašto je to tako. Ali, kada sam video da je ovo pitanje otvoreno u temi Najlepši zadaci, setio sam se da sada imam dovoljno znanja za malo dublje analiziranje moje davnašnje ideje, i tako je došlo do ovog teksta. Ne znam da li je još nekom ovo palo na pamet, ali pretpostavljam da nisam jedini, i bio bih zahvalan ako bi mi neko ukazao na neki drugi izvor ove konstrukcije. Hvala na lepim željama za olimpijadu, kao što rekoh bio bih presrećan i samo da se plasiram tamo.
[ salec @ 26.11.2003. 11:08 ] @
Odlično Bojane! Mogao bi dodatno da smanjiš grešku time što (ovo je samo mala generalizacija u odnosu na tvoju metodu):

- najpre linearnom transformacijom (oduzimanjem konstantnog ugla čija n-sekcija se lako konstruiše, što si već opisao u početnom koraku i/ili uzastopnim disekcijama početnog ugla), dobiješ što oštriji ugao iz kojeg se još uvek može inverznom transformacijom dobiti početni ugao.

- izvršiš trisekciju tog novog, oštrog ugla tvojom metodom,

- konstruišeš rezultujući ugao, dodavanjem trećina oduzetog ugla i/ili multiplikacijom, inverzno onoj transformaciji iz prvog koraka.

Jer, kao što si rekao, greška je manja što je ugao oštriji, zato jer je razlika dužina luka i dužina duži manja.

Alternativno, X nađeš na četvrtini ili osmini (...itd.) luka B1B2, a zatim X1 odrediš nanošenjem duži B1X kao tetiva na luk C1C2 dva ili četri (...itd.) puta, respektivno. Ponovo, koristimo približnu linearnost malih odsečaka lukova...
[ Nedeljko @ 09.04.2004. 15:44 ] @
TAČNU konstrukciju trećine zadatog ugla samo pomoću lenjira i šestara znao je još Arhimed, ali to nije konstrukcija lenjirom i šestarom u smislu koji se podrazmeva u Geometriji, jer lenjir nije koristio samo za povlečenje pravih linija kroz dve date tačke. Evo konstrukcije, a analizu, dokaz i diskusiju prepuštam vama. Konstrukcija se temelji na jednom zadatku koji se radi po mnogim školama, pri čemu skoro nijedan školski profesor ne zna stvarni smisao tog zadatka.

Neka je dat proizvoljan ugao . Najpre konstruišimo tačku C takvu da je tačka O središte duži BC. Potom opišimo polukrug prečnika BC (znači sa središtem O) koji preseca krak OA i presečnu tačku označimo sa D. Zatim lenjir poklopimo sa pravom BC i napravimo jedan zarez na lenjiru na mestu gde se nalazi tačka O i još jedan na mestu gde se nalazi tačka B. Time smo na lenjiru načinili dva zareza koji su na istom rastojanju kao O i B. Zatim dovedimo lenjir u položaj u kome prolazi kroz tačku D i tako da se jedan zarez nađe na opisanom polukrugu, a drugi na pravoj BC. Povucimo pravu lenjirom u takvom položaju i presečnu tačku te prave sa pravom BC (to je ona gde je bio drugi zarez) označimo sa E. Tada je .

Naravno, slučaj kada je se rešava tako što se ugao najpre podeli na dva jednaka dela, potom se jedan od tih delova podeli na tri jednaka dela opisanim postupkom, da bi se onda jedna od dobijenih trećina udvostručila.
[ chupcko @ 09.04.2004. 20:44 ] @
Nekada davno sam cak i smisljao alat kojim bi to moglo da se uradi i na kraju kako god da sam ga smislio ispadao je sestar za elipse :), doduse Nedeljko, mnogo si jaci od mene u matematici pa ce tebi biti lakse da kazes koju klasu brojeva mozemo konstruisati dodavajuci ovaj nacin upotrebe lenjira.

Ja sam jedva polozio algebru :).
[ Nedeljko @ 09.04.2004. 23:58 ] @
Pravo da kažem, nije mi ni jasno kako bi se najbolje okarakterisao ovaj način upotrebe lenjira, tako da ne mogu u ovom trenutku da odgovorim na to pitanje. Treba prvo proanalizirati kakve su sve upotrebe lenjira slične kao u ovom zadatku moguće. Očekujem kubne korene.
[ salec @ 10.04.2004. 01:38 ] @
Možeš li, molim te, da daš i crtež. Imam problem da konstruišem tačku E tako da budu ispunjeni svi uslovi, verovatno ne razumem kako to treba da izgleda.
[ Nedeljko @ 10.04.2004. 09:45 ] @
Ja i dalje nemam pojma kako se u poruke na ovom forumu ubacuju slike, i bio bih zahvalan onome ko me uputi. No, ovaj put sliku šaljem u atačmentu. Elem, ovde važi



i to je zadatak za koji sam tvrdio da se radi u mnogim školama na času Matematike.

[att_img]

[Ovu poruku je menjao Goran Mijailovic dana 13.10.2011. u 11:05 GMT+1]
[ zzzz @ 10.04.2004. 23:05 ] @
Neki dan dođu mi kum i kuma u posjetu.Ja kod kuće sam,a osim
piva samo jedna kriška torte u frižideru.Sjetim se ja kako ćemo je
podijeliti.Po Bojanovom pravilu.Slože se i oni,pa hajde dijeli.Nemaš
kud.Ja uzmem komad konca pa okolo odmjerim luk.Zategnem,i puc
po papiru.Klasično ga razdijelim na 3,pa ponovo oko torte.Ispalo je
dosta dobro.Kuma se upišala od smijeha,kad sam još pokazao da
se tu mogla koristiti i ona vaga sa tri tasa,zamalo pa infarkt od
smijeha.Samo sam ja bio ozbiljan.Šta ćeš.Tako ti je to.
[ ms.srki @ 28.04.2014. 15:33 ] @
pogledaj https://onedrive.live.com/view...1167&app=WordPdf&wdo=1 , pa kaži da li je nemoguće
[ miki069 @ 28.04.2014. 16:08 ] @
Kakao izgleda "geometrijski lenjir" za koren(pi) ?
Ja ga ne videh nigde.

U realne brojeve spadaju racionalni i iracionalni brojevi.
Ono je lenjir racionalnih brojeva.
Za njih je dovoljna i Talesova teorema, ne treba nikakav "geometrijski lenjir".
[ ms.srki @ 29.04.2014. 16:49 ] @
Citat:
miki069

U realne brojeve spadaju racionalni i iracionalni brojevi.

Onda je i bisekcija ugla nije tačna , jer nikad dobijeni uglovi nisu jednaki ( ako ih merimo sa n decimala , što je n veći uglovi nisu jednaki već su približni , uglovi su iracionalni ).
[ miki069 @ 29.04.2014. 23:22 ] @
Nisam spominjao ni trisekciju niti bisekciju ugla.
Prva glupost M. Biljanice, posle "geometrisjkog lenjira", je kvadratura kruga.
Tu je u objašnjena konstrukcija koren(pi).
Da nije smešno bilo bi tužno.
[ Nedeljko @ 29.04.2014. 23:55 ] @
Citat:
ms.srki: Onda je i bisekcija ugla nije tačna , jer nikad dobijeni uglovi nisu jednaki ( ako ih merimo sa n decimala , što je n veći uglovi nisu jednaki već su približni , uglovi su iracionalni ).

Bisekcija ugla uobičajenim postupkom je tačna. Jednaki uglovi se dostižu u konačnom broju koraka.

Dat je ugao POQ.

1. Opisati krug k1 sa centrom O poluprečnika OP. Presečnu tačku sa pravom OQ označimo sa P1.
2. Opisati krug k2 sa centrom P poluprečnika PP1 i krug k3 sa centrom P1 poluprečnika P1P.
3. Presečne tačke krugova k2 i k3 označiti sa M i N. Neka je L ona od te dve tačke, koja je dalja od O.
4. Poluprava OL deli ugao POQ na dva jednaka dela.

Nema tu nikakvih decimala.
[ Forzgov @ 30.04.2014. 21:06 ] @
Citat:
Nedeljko:
4. Poluprava OL deli ugao POQ na dva jednaka dela.

Ovo nije objašnjenje jer ne kaže zašto je to tako.
[ Nedeljko @ 30.04.2014. 21:38 ] @
Naravno da nije objašnjenje, već konstrukcija. Inače se rešenja konstruktivnih zadataka sastoje iz četiri dela, od kojih je jedan konstrukcija, ali to nije poenta, već je poenta da ta konstrukcija jeste tačna, a on neka izmišlja druge koje su približne.
[ Forzgov @ 30.04.2014. 21:56 ] @
Citat:
Nedeljko: već je poenta da ta konstrukcija jeste tačna.

a zašto je tačna?
[ djoka_l @ 30.04.2014. 22:09 ] @
Citat:
Forzgov: a zašto je tačna?


Zbog sličnosti trouglova, što sledi iz aksioma i teorema Euklidske geometrije.
[ Forzgov @ 30.04.2014. 22:52 ] @
Citat:
djoka_l: Zbog sličnosti trouglova, što sledi iz aksioma i teorema Euklidske geometrije.

Ja bih ipak rekao da u konkretnom slučaju sledi iz podudarnosti trouglova iako su i oni, naravno, slični.
[ ms.srki @ 01.05.2014. 16:43 ] @
Citat:
Nedeljko:
Citat:
ms.srki: Onda je i bisekcija ugla nije tačna , jer nikad dobijeni uglovi nisu jednaki ( ako ih merimo sa n decimala , što je n veći uglovi nisu jednaki već su približni , uglovi su iracionalni ).

Bisekcija ugla uobičajenim postupkom je tačna. Jednaki uglovi se dostižu u konačnom broju koraka.

Dat je ugao POQ.

1. Opisati krug k1 sa centrom O poluprečnika OP. Presečnu tačku sa pravom OQ označimo sa P1.
2. Opisati krug k2 sa centrom P poluprečnika PP1 i krug k3 sa centrom P1 poluprečnika P1P.
3. Presečne tačke krugova k2 i k3 označiti sa M i N. Neka je L ona od te dve tačke, koja je dalja od O.
4. Poluprava OL deli ugao POQ na dva jednaka dela.

Nema tu nikakvih decimala.

Prepostavimo da imamo spravu ili uređaj koji je mnogo precizan i koji ispunjava greške u okviru:
-
-
-
-
-
...
onda se iz bisekcije dobija dva iraconalna ugla , na to sam mislio , :2= to se ne može dobiti u stvarnosti ...
[ RMAN @ 02.05.2014. 21:03 ] @
Ne znam da li ste culi za ovo: Ja procitao pre mesec dana..

Uzicanin - trisekcija ugla
[ Sonec @ 02.05.2014. 21:50 ] @
Jesi ti to ozbiljan? A bilo mi zao coveka Milosa koji se trudio u komentarima da objasni narodu da je dokazano da je tako nesto nemoguce, al ne, ovaj je tip dokazao, a taj Milos je ljubomoran, kao i drugi matematicari jer se oni nisu ovoga setili. Ispljuvase strucnjaci coveka. Jesus...

Inace, ms.srki il ms.biljanica (msm da je imao tako nekako pre profil ovde, dok nije banovan) je poznat i na drugim mestima gde pokusava da prosiri svoju, nazovimo, teoriju i nije vredan daljeg objasnjavanja. Samo ga treba ignorisati, tako je najlakse. A ja bih svu ovu diskusiju koja je potekla od njega obrisao, jer je tema pre toga imala lepe ideje i imala je smisla.
[ RMAN @ 02.05.2014. 22:57 ] @
Nisam procitao celu diskusiju pa ne znam ko je Milos

Ali da, postoji DOKAZ da se je problem neresiv...


Nego kad spomenu ms.srki-ja pre 15sec sam naleteo na ove neresLJive zadatke
[ Sonec @ 02.05.2014. 23:12 ] @
Ma to je neki Milos koji je komentarisao u komentarima vesti koju si okacio.
[ RMAN @ 02.05.2014. 23:37 ] @
E, nisam citao komentare pa reko sad da ih citam. Ono je horor. Kad vidim ono tipa kako smo mi Srbi jadni kako je mozda covek uspeo da podeli krug tacno mi se mozak skvrci

Najgore je kad se javi neki patriotski COBAN.. al ne vredi kidati zivce...
[ Forzgov @ 13.05.2014. 06:22 ] @
Citat:
RMAN: Najgore je kad se javi neki patriotski COBAN.. al ne vredi kidati zivce...


Ako ti nisi čoban pokaži dokaz da je kokstrukcija trećine ugla nemoguća pomoću lenjira i šestara i pokaži da si ga
razumeo, u protivnom, tvoj stav se svodi samo na verovanje da je tako i na vređanje hiljada normalnih ljudi koji
pokušavaju da izvrše trisekciju. Među te ljude, po tvojoj oceni, spada i Arhimed.
[ djoka_l @ 13.05.2014. 07:50 ] @
Koji si ti lik, Forzgov.

Doduše, moguće da nisi čuo, ali DOKAZANO je da trisekcija ugla nije moguća. Doduše, dokaz je relativno svež, tek oko 180 godina star, pa je moguće da to u tvojoj školi još nisu obradili.

http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection
[ Forzgov @ 18.05.2014. 03:14 ] @
Citat:
djoka_l: Koji si ti lik, Forzgov.


Moj lik nije tema!
Čuo sam i znam da je dokazano, ali to nije opravdan razlog za vređanje ljudi koji to nisu čuli i koji pokušavaju.
Otvori na google-u "trisekcija ugla" - slike (images) i videćeš koliko je "čobana" i "likova" to pokušavalo uključujući i Arhimeda.
Uostalom da li si ti siguran da smo otkrili sva svojstva kružnice i uglova?
Možda postoji svojstvo koje još nismo otkrili i koje omogućava trisekciju.

Na primer, ako krajeve prečnika kružnice spojiš dužima sa nekom tačkom na kružnici, konstruisao si prav ugao.
To je svojstvo kružnice i ne zavisi od toga da li si ti čuo za Talesovu teoremu u tvojoj školi.
[ djoka_l @ 18.05.2014. 11:28 ] @
Prvo, Arhimed je uspeo (uz malo varanja) da uradi trisekciju ugla.
Drugo, u 19. veku su REŠENI problemi koje su nečobani pokušavali da reše 2000 godine. tj. DOKAZANO je da je nemoguća trisekcija ugla, kvadratura kruga i dupliranje kocke samo uz pomoć (neoznačenog) lenjira i šestara.
Međutim, i dalje neki pokušavaju da "reše" te probleme, da naprave perpetuum mobile i slično, a to što je neke od tih problema pokušao da reši neko ko nije čoban u vreme kada nije bilo poznato da to nije moguće, ne čini ih manjim čobanima...
[ hotchimney @ 18.05.2014. 13:16 ] @
Izgleda da je trisekcija ugla pedagoški problem. U stvari, uvek treba naglasiti da trisekcija ugla u antičkom smislu nije moguća.

U tom smislu nije pravilno dovoditi u vezu perpetuum mobile i trisekciju ugla. Jer perpetuum mobile nikako nije moguć a trisekcija ugla je moguća pod odredjenim uslovima, čak je moguća trisekcija nekih uglova u antičkom smislu.
[ Diskriminanta @ 08.11.2014. 08:32 ] @
Nedeljko:

"TAČNU konstrukciju trećine zadatog ugla samo pomoću lenjira i šestara znao je još Arhimed, ali to nije konstrukcija lenjirom i šestarom u smislu koji se podrazmeva u Geometriji, jer lenjir nije koristio samo za povlečenje pravih linija kroz dve date tačke. Evo konstrukcije, a analizu, dokaz i diskusiju prepuštam vama"

djoka_l:

"Zbog sličnosti trouglova, što sledi iz aksioma i teorema Euklidske geometrije"

Forzgov:

"Ja bih ipak rekao da u konkretnom slučaju sledi iz podudarnosti trouglova iako su i oni, naravno, slični"


Analizu i dokaz Nedeljko je prepustio nama (učesnicima na temi), ali to do sad niko nije učinio.
Smatram da je to neophodno jer sigurno posetioci teme žele da saznaju kako se dokazuje
tačnost Arhimedove konstrukcije.

Takođe je neophodno da se koriguju neispravne, odnosno netačne izjave djoke_l i Forzgova

A izjave su netačne jer Arhimedova konstrukcija trećine ugla bazira na činjenici da je spoljni ugao
trougla jednak sumi dvaju nasuprotnih unutrašnjih uglova

Evo te konstrukcije i dokaza:



Nedeljko:
"Konstrukcija se temelji na jednom zadatku koji se radi po mnogim školama, pri čemu skoro nijedan školski profesor ne zna stvarni smisao tog zadatka"

Kao što se vidi dokaz je vrlo jednostavan pa mi se čini da je ova Nedeljkova izjava prilično neosnovana.
[ igorpet @ 08.11.2014. 10:45 ] @
Neki uglovi mogu se podeliti na tri dela: ugao od 45 stepeni, prav ugao, ugao od 180 stepeni i mnogi drugi - postoji, u stvari, beskonačno mnogo uglova koji se lenjirom i šestarom mogu "trisecirati".
Stari su Grci, međutim, pokušavali da pronađu opšti algoritam koji bi omogućio trisekciju svakog ugla i to im nije polazilo za rukom, sto je kasnije i dokazano kao nemoguce.

Ovo je samo jedan od tih specijalnih slucajeva tj. ugao BAC nije proizvoljan ugao...
Ovako to otprilike izgleda u GeoGebri:


A dodao sam i fajl pa se moze otvoriti i pogledati...

[Ovu poruku je menjao igorpet dana 08.11.2014. u 12:22 GMT+1]
[ Diskriminanta @ 09.11.2014. 12:04 ] @
Radi se o uglovima za koje znamo koliki su, a dobijeni su verovatno kao tri polovine nekog ugla koga smo prepolovili.
Ispravi me ako grešim.
Problem se, međutim, svodi na konstruisanje trećine nekog ugla za koji ne znamo koliki je.
[ igorpet @ 09.11.2014. 19:33 ] @
Da ne bi sada razglabao, za detalje pogledati npr.
http://e.math.hr/math_e_article/br21/srebacic
Ovu konstrukciju je uocio jos i Arhimed ...
[ Diskriminanta @ 09.11.2014. 22:34 ] @
Hvala ti za obaveštenje o detaljima. Ovo mi zaista nije bilo poznato.
[ Diskriminanta @ 30.11.2014. 21:06 ] @
U ovom prilogu govori se i o konstrukciji trisekcije pomoću hiperbole, međutim, ja sam našao krivu pomoću
koje, čini mi se to ide vrlo jednostavno. Treba šestarom ubodenim u tačku B i radijusom r = 2a napraviti zarez
na liniji paralelnoj sa krakom AO zadanog ugla AOB koja je za a udaljena od od tok kraka.
Zarez preseca liniju u tački C. Ugao AOC je trećina ugla AOB.




Konstrukciju krive i dokaz priložiću ukoliko to nekog interesuje.
[ Diskriminanta @ 26.02.2015. 11:59 ] @
Koji princip je upotrebio Arhimed

Prilikom rešavanja trisekcije ugla Ahimed se poslužio principom nefsis koji je u njegovo vreme bio poznat
Onaj ko je pokušavao da reši trisekciju ugla uvideo je da postoji potreba da neka duž treba istovremeno i
da rotira i da se pomera aksijalno. To nije moguće ostvariti ni sa lenjirom ni sa šestarom.

Kritika na račun rešavača tog problema je neopravdana jer iako je trisekcija nemoguća pomoću šestara
i lenjira ipak pokušaji rešavanja dovode do nekih saznanja.

Šta je nefsis?

Na lenjiru su markirane dve tačke na određenom rastojanju koje se zove dijastema. Cilj je da se jedna
tačka postavi na jednu krivu a druga na drugu krivu s tim što lenjir treba da prolazi još i kroz neku zadatu tačku.



U konkretnom primeru date krive su prava x – x i kružnica k. Jedna od tih krivih je vodeća kriva
a druga je ciljna kriva. Neka je vodeća kriva prava x – x. Rastojanje između tačaka A i B (dijastema)
jednako je r. Treća tačka je tačka P na kružnici k

Postavimo lenjir tako da tačka A padne na vodeću krivu t.j. na pravu x – x i tačku P na kružnici k
Sada pomeramo lenjir tako da tačka A klizi po pravoj x – x, a po tački P će i da klizi i da rotira istovremeno
sve dotle dok tačka B ne padne na ciljnu krivu t. j. kružnicu k.
Tačka P nije smo centar rotacije lenjira već i tačka po kojoj lenjir kliza – zato se ta tačka zove pol.

Dakle, ovde lenjir i rotira i kliza istovremeno, odnosno, lenjir je šestar sa promenljivim radijusom.

Takav lenjir se u Euklidovoj geometriji ne podrazumeva, međutim, on je van svake sumnje vrlo koristan.

Evo još jednog primera:


Ovo je poznati nerešivi zadatak sa zadatom tačkom kroz koju prolazi hipotenuza pravouglog trougla
kojoj je poznata dužina.
Ovde je vodeća kriva prava 0 – x, a ciljna kriva je prava 0 – y. Pol P nalazi se unutar diasteme A – B
odnosno hipotenuze pravouglog trougla.
Očigledno je da je i ovde upotrebljen lenjir kao šestar sa promenljivim radijusom

Ne znajući za ovaj princip (nefsis) ja sam rešio trisekciju na sličan način i to me je navelo na ideju
da se taj sistem može uopštiti i da se sa tako uopštenim sistemom mogu rešavati mnogo složeniji
zadaci koji nisu rešivi na ovde prikazan način. Ali o tome u sledećoj poruci.
[ Diskriminanta @ 04.03.2015. 09:04 ] @
Pre nego što pređem na uopštavanje sistema nefsis prikazaću moju trisekciju i uporediti je sa Arhimedovom





I ko kaže da trisekcija ugla nije moguća pomoću šestara i lenjira. Čak ja ovde nisam ni
koristio šestar, ali moglo bi se ipak reći da je za simetralu na lenjiru potreban šestar a i
za povlačenje paralelne prave p na odstojanju a od horizontalnog kraka ugla

I zašto bi Arhimedova trisekcija bila bolja od ove?
[ Diskriminanta @ 05.03.2015. 10:45 ] @
Budući da nema interesovanja za trisekciju ugla i za sistem nefsis prisiljen sam da prekinem monolog.
Prikazaću samo definitivan crtež iz koga se vidi da nije tačno da se trisekcija ne može izvesti sa običnim
lenjirima koji realno postoje i svakome su dostupni

[ zzzz @ 07.03.2015. 00:27 ] @
OK.Ovo što je nacrtano jeste tehnička podjela ugla na tri dijela.Kupiš u trgovini dva lenjira,pomoću jednog povučeš paralelu sa jednim krakom,spojiš ih zatim u jedan.Pa potom vučeš jedan ugao duž gornjeg kraka dok je simetrala uvijek na tjemenoj tački.
I sve polako dok se drugi ugao lenjira ne nađe na onoj paraleli.

Geometrija je apstraktna nauka a tehnika živi u realnoj stvarnosti.Naprimjer ako kupimo u trgovini šestar lenjir i olovku pa nacrtamo simetralu ugla to je samo tehničko rješenje.
Naravno da nije tačno u matematičkom smislu jer imamo debljine linija i još kojekakvih drugih odstupanja.Šestar i lenjir definirani u geometriji ne postoje u realnoj stvarnosti.

Pretpostavljam da ONAJ lenjir nije iz prodavnice,već je idealna geometrijska figura tada:

1)Ako u geometriji konstruišemo pomoću šestara i lenjira neke figure,pa onda dozvolimo da te figure služe kao alat za nove konstrukcije onda si riješio trisekciju.

2)Ali ako nije dozvoljeno pravljenje novih alata šestarom i lenjirom,nisi rješio problem.

Ajde da i ja navijam za 1),pa da kažemo da nigdje ne piše jel ili nije dozvoljeno.Da li se zahtjevom "samo šestar i lenjir" isključuju alati napravljeni tim alatima?Ode ovo u vode drvene filozofije.
[ Diskriminanta @ 08.03.2015. 20:26 ] @
Ma znam ja da nisam rešio trisekciju onako kako se traži, ali stalno se ponavlja da treba "rešiti lenjirom i šestarom".
Pa eto - rešeno je, nije ni Arhimed bolje rešio.
Radi se o tome da ništa od lenjira ne smeš da koristiš osim one njegove duže ravne stranice. Lenjir služi samo za povlačenje
pravih linija između dve tačke i to je sve.

Šta sam ja koristio od lenjira?
Koristio sam simetralu, pa onda one dve tačke na ćoškovima i još je bio proziran - a sve to ne dolazi u obzir.

E sad, kad je reč o alatu, ako odbacim od lenjira sve što mi ne treba onda dobijem T instrument s kojim se može
izvršiti trisekcija i ne samo trisekcija nego i n - sekcija nekog ugla.
T instrument ima nožicu prosečenu po dužini kroz koju se može ubosti igla a to je bila simetrala lenjira i ima
krila levo i desno sa tačkama na krajevima a to su bili ćoškovi lenjira.
Takav instrument istovremeno i rotira i kliza i to je ono što je potrebno za trisekciju. Nema iteracije ni nekog
nameštanja - instrument kliza i rotira oko igle, a leva ili desna tačka krila kliza po lenjiru dok druga tačka
lenjira ne preseče drugi krak ugla.
Taj T instrument može biti i italik T t.j. spojnica tačaka ne mora biti normalna na nožicu, a ni
nožica ne mora biti simetrala t.j. ne mora biti na polovini rastojanja između tačaka.
I ko zna koji i kakvi sve problemi mogu biti rešeni s tim instrumentom a koji su za sada nerešivi.

Dobili smo opšti oblik tog instrumenta koji se lako može pretvoriti i u instrument koji je koristio Arhimed:
Nožica je spojena sa jednom tačkom, a rastojanje između tačaka zatvara ugao od 00 sa nožicom.
Tako obeležen Arhimedov lenjir zove se nevsis (ili nefsis...?)
[ zzzz @ 09.03.2015. 00:19 ] @
Meni se više sviđa onaj lenjir sa zarezom na odstojanju r od početka.Početak leži na simetrali kružnice koja se poklapa sa jednim krakom ugla,zarez je na kružnici radijusa r,a pravac lenjira prolazi kroz presjek drugog kraka ugla i kružnice kojoj je centar u tjemenu zadanog ugla .Lenjir sa simetralom zatvara 1/3 zadanog ugla.

Kako bi se mogla napraviti geometrijska alatka koja bi pravila treći korjen iz nekog broja,naprimjer iz 2?Alatka se smije praviti samo sa šestarom i lenjirom.
[ MajorFatal @ 11.03.2015. 09:18 ] @
Citat:
Diskriminanta:
Lenjir služi samo za povlačenje
pravih linija između dve tačke i to je sve.


Za povlacenje pravih linija izmedju dve tacke, tj spajanje dve tacke, za produzavanje poluprave i za povlacenje prave linije kroz jednu tacku...

Citat:
Diskriminanta:E sad, kad je reč o alatu, ako odbacim od lenjira sve što mi ne treba onda dobijem T instrument s kojim se može
izvršiti trisekcija i ne samo trisekcija nego i n - sekcija nekog ugla.
T instrument ima nožicu prosečenu po dužini kroz koju se može ubosti igla a to je bila simetrala lenjira i ima
krila levo i desno sa tačkama na krajevima a to su bili ćoškovi lenjira.
Takav instrument istovremeno i rotira i kliza i to je ono što je potrebno za trisekciju. Nema iteracije ni nekog
nameštanja - instrument kliza i rotira oko igle, a leva ili desna tačka krila kliza po lenjiru dok druga tačka
lenjira ne preseče drugi krak ugla.
Taj T instrument može biti i italik T t.j. spojnica tačaka ne mora biti normalna na nožicu, a ni
nožica ne mora biti simetrala t.j. ne mora biti na polovini rastojanja između tačaka.
I ko zna koji i kakvi sve problemi mogu biti rešeni s tim instrumentom a koji su za sada nerešivi.

Dobili smo opšti oblik tog instrumenta koji se lako može pretvoriti i u instrument koji je koristio Arhimed:
Nožica je spojena sa jednom tačkom, a rastojanje između tačaka zatvara ugao od 00 sa nožicom.
Tako obeležen Arhimedov lenjir zove se nevsis (ili nefsis...?)




Pa izgleda da neka vrsta instrumenta u obliku slova T sa klizanjem i rotiranjem nije bila nepoznata oko 180 godine pre nove ere :) a medju prvima ga je koristio Nikomed za: trisekciju ugla, dupliranje kocke i racunanje kvadrature kruga. Sva tri cuvena zadatka stare Grcke resena su jos u staroj Grckoj...Mada se kocka "lakse" duplira uz pomoc krive koja se zove cisoida valjda.
[ Diskriminanta @ 11.03.2015. 17:12 ] @
U celom svetu se traži da se trisekcija izvede pomoću lenjira i šestara, ali to je pogrešno.
Ja sam to upravo dokazao!

Traži se ustvari da se trisekcija izvede pomoću kružnice i prave linije
Nije uopšte važno čime ću crtati kružnicu ili pravu liniju!

[ Diskriminanta @ 15.05.2015. 10:52 ] @
[ point.ms @ 16.05.2015. 10:10 ] @
kako dobiješ tačke D i B odnosno duži FB i FD , ili ponovi postupak korak po korak
[ Diskriminanta @ 16.05.2015. 22:00 ] @
Mislim ipak da je na ovaj način ipak trisekcija rešena.

Pogledaj - krakovi DE i CB ravnokrakih trouglova ABC i ADE seku se tako da je uvek odnos delova jednog kraka isti
t. j. odnos DF/FE je uvek isti što važi i za drugi krak BF/ FC

Kad se meri izgleda da je taj odnos 2 : 3, ali o tom po tom.

i sada

koji god ugao alfa namestimo između tih krakova možemo povući pravu kroz tačke C i D i
drugu pravu kroz B i E i te će se prave seći u tački A koji je jednak trećini ugla alfa


A sad odgovor na tvoje pitanje - duži FB i FD se dobiju kada se trouglovi ABC i ADE preklope tako kao što
ih vidiš na slici, ali te duži nisu važne, važna je jednakost uglova navedenih ravnokrakih truoglova koji su
podudarni.

Poslaću detaljniji dokaz ilustrovan slikom, a sada moram da sve detaljno proverim jer ne mogu da verujem da
sam rešio trisekciju.



[Ovu poruku je menjao Diskriminanta dana 16.05.2015. u 23:16 GMT+1]
[ Diskriminanta @ 17.05.2015. 00:06 ] @
Evo i objašnjenja:
Izvinjavam se - navedeni odnosi nisu tačni, ali to se ne odnosi na uređaj.

[Ovu poruku je menjao Diskriminanta dana 17.05.2015. u 03:05 GMT+1]
[ Diskriminanta @ 17.05.2015. 00:14 ] @

Pogrešno

[Ovu poruku je menjao Diskriminanta dana 17.05.2015. u 02:55 GMT+1]
[ Diskriminanta @ 17.05.2015. 01:24 ] @
pogrešno



[Ovu poruku je menjao Diskriminanta dana 17.05.2015. u 02:54 GMT+1]
[ MajorFatal @ 20.05.2015. 01:52 ] @
Onu krivu sam ti dostavio jer si na prethodnoj stranici imao jedno resenje uz pomoc krive pa da proveris da se ne poklapa sa necim sto vec postoji. Ispostavilo se da vec postoji i instrument u obliku slova T jako slican onom koji si ti zamislio. Osim Nikomedove Konhoide i Dioklove Cisoide postoji jos i Hipijina Kvadratisa pogodna za racunanje kvadrature kruga. Problem sa svim tim krivama i lenjirom i sestarom je u tome sto nijednu ne mozes da nacrtas celu, a da pri tom ne upotrebis beskonacno mnogo poteza lenjirom i sestarom.

Ali da sam znao da ces ovako reagovati, ne bih nista ni pisao:

Citat:
Diskriminanta:
U celom svetu se traži da se trisekcija izvede pomoću lenjira i šestara, ali to je pogrešno.
Ja sam to upravo dokazao!


"U celom svetu" se ne trazi trisekcija uopste. Traze se: cist vazduh, pijaca voda, hrana, nafta, obradivo zemljiste, tehnicke novotarije, softver, lepe zene. Trisekcija se ne trazi, lenjirom i sestarom jer je to dokazano da je nemoguce negde u 19. veku, niti na drugi nacin jer je taj problem vec resen na nekoliko drugih nacina...

Citat:
Diskriminanta:
Traži se ustvari da se trisekcija izvede pomoću kružnice i prave linije
Nije uopšte važno čime ću crtati kružnicu ili pravu liniju!

Pa, uglavnom ih crtamo lenjirom i sestarom zar ne? Ne bi valjda kombajnom?
U stvari, mislim da su u staroj grckoj lenjir i sestar bili definisani pravom linijom i kruznicom a ne obrnuto, tj. sestar je ono sto je u stanju da nacrta kruznicu, a kruznica je strogo definisana kao zatvorena kriva linija u ravni cije su sve tacke podjednako udaljene od centra...tako da mislim da se podrazumeva pravim linijima i kruznicama, tj. neobelezenim lenjirom i sestarom, s tim sto lenjir ne moze da se translira i rotira, vec tek kad zauzme pogodan polozaj mozes da ga iskoristis za crtanje prave linije.

Ali posto vidim da ti je tematika ultra zanimljiva evo jedan lenjir koji ne lici na one iz knjizare: http://en.wikipedia.org/wiki/Peaucellier%E2%80%93Lipkin_linkage tu je i matematicki dokaz da ce nacrtati pravu liniju a postoji i fizicka izvedba.

Mozda te inspirise na jos neko resenje :)

Pozdrav!
[ Diskriminanta @ 21.06.2015. 18:56 ] @
Citat:
MajorFatal:Mozda te inspirise na jos neko resenje

Evo našao sam jedno rešenje.


Razmaci između susednih zglobova-otvora su jednaki.
Konac je nacrtan plavom bojom.

Da li si video jednostavniji uređaj?
Ali ima jedan veliki nedostatak!

Možda te interesuje da odgonetneš kako se upotrebljava pa ti neću kvariti zadovoljstvo do
sledeće nedelje.




[Ovu poruku je menjao Diskriminanta dana 21.06.2015. u 21:00 GMT+1]
[ Diskriminanta @ 28.06.2015. 07:03 ] @


Ovde je korišćeno svojstvo ravnokrakih trouglova da simetrala ugla između jednog kraka trougla i njegove osnovice
preseca drugi krak pod uglom koji je tri puta veći od polovine ugla dobijene simetralom. Dokaz je jednostavan i dat
je na donjem delu slike.
Na prikazan način može se izvesti trisekcija bilo kog ugla, izuzev zadatog. U tome je veliki nedostatak ovog "rešenja".
[ Diskriminanta @ 28.06.2015. 12:19 ] @

Dodatni elementi omogućavaju da se reši i trisekcija zadatog ugla. Zadati ugao (alfa) se unosi između štapova CD i EF.
Ova dva štapa se potom međusobno fiksiraju. Rotaciju štapa BD oko tačke B i zatezanje konca vršimo toliko da plavi konac
postane vidljiv kroz prorez u štapu EF. Time je mehanička trisekcija završena. Dokaz je isti kao u prethodnoj poruci.
Sve ostalo vidljivo je iz slike.
[ Diskriminanta @ 10.07.2015. 08:56 ] @
[ MajorFatal @ 14.07.2015. 03:52 ] @
Simpaticno :)

Zamolio bih te ubuduce ako citiras nesto sto sam napisao da to uradis kako treba, onako kako sam napisao: "mozda te inspirise na jos neko resenje :)" ima smajli na kraju univerzalni znak sale, zezanja, dobrog raspolozenja, razbibrige, tj. koliko znam jos uvek je vazeci dokaz da to sto ti pokusavas nije moguce, a za koji su ti dostavili link: https://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection pa to ne bi bila losa polazna tacka za tebe, da li razumes dokaz? da li mozda imas neku primedbu, zamerku, neslaganje?

Inace zadatak nije nezanimljiv, to se vidi po tome sto se cekalo skoro 2000 godina do dokaza da to nije moguce izvesti, ali, ili razumes, prihvatas dokaz ili imas kontrargumente? Ili nam dosadjujes?
[ MajorFatal @ 14.07.2015. 04:01 ] @
Citat:
Diskriminanta:
Da li si video jednostavniji uređaj?


Jesam: sestar. Navodno su dokazali da svaku konstrukciju koju mozes da izvedes uz pomoc lenjira i sestara mozes i samo uz pomoc sestara... Pozdrav!
[ Diskriminanta @ 19.07.2015. 16:30 ] @
Malo si prestrog! Ja znam da nije moguće izvršiti trisekciju ugla na način na koji se traži, ali
interesantni su pokušaji i nalaženje "nedozvoljenih" ali principijelno tačnih rešenja. Naravno,
kom to nije interesantno ne mora da posećuje ovu temu.
Usput se otkrivaju interesantne stvari, na primer, zna se da je centralni ugao nad nekim lukom
duplo veći od periferijskog ugla nad istim lukom, ali se nigde ne spominje gde je ugao koji je
tri puta veći od periferijskog iako se dobija lako - crtanjem samo još jednog radijusa.
Da li te to interesuje ili to već znaš?
[ Diskriminanta @ 19.07.2015. 16:34 ] @
Možda je još jednostavniji kolac i kanap jer osim kružnice možeš da oslikaš i pravu duž.
[ MajorFatal @ 19.07.2015. 18:43 ] @
Citat:
Diskriminanta: Malo si prestrog! Ja znam da nije moguće izvršiti trisekciju ugla na način na koji se traži, ali
interesantni su pokušaji i nalaženje "nedozvoljenih" ali principijelno tačnih rešenja. Naravno,
kom to nije interesantno ne mora da posećuje ovu temu.
Usput se otkrivaju interesantne stvari, na primer, zna se da je centralni ugao nad nekim lukom
duplo veći od periferijskog ugla nad istim lukom, ali se nigde ne spominje gde je ugao koji je
tri puta veći od periferijskog iako se dobija lako - crtanjem samo još jednog radijusa.
Da li te to interesuje ili to već znaš?


Mozda nisam prestrog, u jednom trenutku si izjavio: ne mogu da verujem da sam resio trisekciju, sto govori da si sumljicav prema dokazu da je nemoguce, a da dosledno analiziras to resavanje verovatno bi dosao do istog zakljucka, s tim sto, da te obavestim da se obracas osobi koja ne razume ni taj dokaz, ni tvoju onu trisekciju sa providnim lenjirom, ni skoro nista ozbiljnije iz matematike,ono sto sam ranije pisao je sve iz neke knjige o zanimljivoj matematici :) tako da sto se mene tice svako od resenja je ravno ili jednako onom Arhimedovom, ali ni moje pohvale ni pokude ne bi trebalo mnogo da ti znace.

Da me nesto specijalno zanima - ne, samo onako informativno, ali ti samo sniraj kad ti vec tako dobro ide... :)
[ Diskriminanta @ 25.08.2015. 08:45 ] @
[ Diskriminanta @ 25.08.2015. 23:32 ] @