Pomoć oko zadatka (granična vrednost)

[ Amaterasuu @ 17.09.2014. 17:28 ] @

Ovako narode, verovatno je jako glupo ovo što pitam, i većinom ovakve stvari sam rasčivijavam, no sada imam jako malo vremena jer se bliži ispit, pa bih zatražio pomoć ako neko ima vremena... Granična vrednost izgleda ovako:

Štaviše imam i rešenje korak po korak, ali nisam uspeo da ispratim šta se dešava... Koristi se osobina

i rešava se na sledeći način

Ako sam dobro ispratio:

1. Korak - Brojilac se predstavlja kao (n²-4n+2)+(2n-1) što je ekvivalentno početnom stanju, pa se prvi deo odvaja i piše kao 1.
2. Korak - Ekvivalentno jedinici, ok, kapiram (iako ne znam zašto baš u toj formi, da li je to opšti sistem za rešavanje zadataka ovog tipa (kada hoćemo da iskoristimo gorepomenutu osobinu sa "e") ili samo konkretno ovde?)
3. Korak - Predstavljamo ovo kao stepen stepena, ok, drugi činilac se množi sa n tom prilikom, ispratio.
4. Korak - Izvuceno n² ispred imenioca i brojioca i pokraćeno, ispratio.

E sada dalje ne pratim, kako je dobijeno e, zašto na kvadrat, kako se dobilo to što se dobilo?? Verovatno je nešto očigledno, ali stao mi je mozak i previše sam vremena ostavio pokušavajući da prokljuvim, hvala unapred na odgovoru!!!

[ Odin D. @ 17.09.2014. 17:53 ] @

Ako onaj razlomak u zadnjem redu, naime:
(2n - 1) / (n² - 4n + 2)
zamjeniš sa npr. 1/t, onda ti onaj eksponent nad tom zagradom bude t,
pri čemu t->beskonačnosti kad n->beskonačnosti, pa je ta smjena ok.

Tada imaš onaj izraz
lim (1 + 1/t)^t (kad t->beskonačnosti)
a to je valjda e.

A limes onog preostalog eskponenta (2 - 1/n) / (1 - 4/n +2/n²) je valjda 2 kad n->beskonačnosti, pa otud valjda e².

Ovo je neformalni laički pokušaj, nisam matematičar.

[ Amaterasuu @ 17.09.2014. 18:06 ] @

Da, ne mora čak ni da se menja sa t, dovoljno je predstaviti (2n-1) / (n2 - 4n + 2) kao 1 / ( (n2 - 4n + 2)/(2n-1) ), ekvivalentno je i dobija se željena forma

Opet onaj momenat "gde su ti bile oči" :P Ako može neko da potvrdi čisto da je matematički ispravno uraditi ovakvu transformaciju, da budem siguran da može tako. Hvala puno na vremenu druže!

[ zzzz @ 17.09.2014. 18:29 ] @

Ima neko pravilo otprilike ovako:

,ako postoje.

Limes eksponenta je 2,a ovaj prvi dio ima eksponent koji teži beskonačnosti dok je drugi član binoma recipročan eksponentu.

[ miki069 @ 18.09.2014. 06:35 ] @

1. Korak je da se podele polinomi u zagradi.
Dobija se rezultat 1 i ostatak (2n-1).

[ zzzz @ 18.09.2014. 13:05 ] @

Citat:

Amaterasuu: :P Ako može neko da potvrdi čisto da je matematički ispravno uraditi ovakvu transformaciju, da budem siguran da može tako.

Ima nešto o tome ovdje.
(pravilo 4.9)