[ miki069 @ 28.11.2016. 09:50 ] @
Jedan od temelja matematike je odnos skupa Q i skupa R.

Teorema (stav, aksima...) glasi: "Skup Q svuda gust u skupu R".

Što znači da se proizvoljnoj okolini proizvoljnog x iz skupa R nalazi y iz Q.
Ekvivalentno je da sa "između bilo koja dva realna broja postoji racionalan broj".

Nikada nisam video dokaz istog, a sam ne znam da ga konstruišem.

Potrebna mi je informacija o literaturi gde je isto dokazano.
[ Nedeljko @ 28.11.2016. 16:12 ] @
To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.

Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od ima supremum u .

Dedekindova aksioma (D): Ako je skup disjunktna unija nepraznih skupova i , pri čemu je svaki element skupa manji od svakog elementa skupa , onda postoji realan broj takav da su svi realni brojevi manji od članovi skupa , a svi realni brojevi veći od članovi skupa .

Arhimedova aksioma (A): Za ma koje , postoji takav da je .

Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je ima neprazan presek, odnosno .

Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).

(D) povlači (S):

Neka je odozgo ograničen podskup od i neka je

,
.

Pošto za važi i ma koja majoranta skupa pripada skupu , skupovi i su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je . Ako i , onda postoji takav da je . Zbog ne može biti , pa je odnosno . Neka je kao iz (D). Neka nije majoranta od i neka je takvo da je . Onda za važi . Zbog važi , a zbog važi . Ta kontradikcija dokazuje da je majoranta od . Ukoliko bi neko bilo majoranta, postojalo bi takvo da je suprotno tome da je majoranta od . Stoga je supremum skupa .

S povlači D:

Ako važi S i A i B su skupovi kao u D, onda je skup A neprazan i odozgo ograničen, pa ima supremum c. Obzirom da je c majoranta od A, veći elementi od c ne mogu pripadati skupu A, pa pripadaju skupu B. Ako bi neki realan broj manji od c pripadao skupu B, onda bi i on bio majoranta skupa A, pa c ne bi bila najmanja majoranta (supremum). Prema tome, realni brojevi manji od c ne mogu pripdatai skupu B, pa pripadaju skupu A.

D povlači A:

Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva

(S) povlači (A):

Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su takvi da . Skup

.

Skup je neprazan zbog a odozgo ograničen jer mu je majoranta. Stoga ima supremum . Zbog broj nije majoranta skupa pa postoji takvo da je , odnosno , što je u suprotnosti sa tim da je supremum skupa .

(S) povlači (K):

Neka je inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je . Zbog . Zbog i važi , odnosno , pa je niz neopadajući i za svako broj je majoranta niza (jer je za ma koje ). Stoga je skup nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum , koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni . Stoga je , odnosno .

(A) i (K) povlači (D):

Neka su i kao u (D). Za i važi i konstruišimo nizove na sčedeći način:

, ,

.

Ako je , onda je i .

Ako je , onda je i .

Niz je neopadajući, a niz nerastući, pri čemu je , i . Stoga postoji neko koje pripada svakom od intervala . Takođe je .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Gustina skupa u je posledica od (A).

Neka je . Zbog postoji takvo da je , pa je . Postoji takvo da je . Uočimo najmanje takvo celobrojno . Dakle, , pa .
[ Nedeljko @ 28.11.2016. 16:14 ] @
To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.

Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od ima supremum u .

Dedekindova aksioma (D): Ako je skup disjunktna unija nepraznih skupova i , pri čemu je svaki element skupa manji od svakog elementa skupa , onda postoji realan broj takav da su svi realni brojevi manji od članovi skupa , a svi realni brojevi veći od članovi skupa .

Arhimedova aksioma (A): Za ma koje , postoji takav da je .

Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je ima neprazan presek, odnosno .

Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).

(D) povlači (S):

Neka je odozgo ograničen podskup od i neka je

,
.

Pošto za važi i ma koja majoranta skupa pripada skupu , skupovi i su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je . Ako i , onda postoji takav da je . Zbog ne može biti , pa je odnosno . Neka je kao iz (D). Neka nije majoranta od i neka je takvo da je . Onda za važi . Zbog važi , a zbog važi . Ta kontradikcija dokazuje da je majoranta od . Ukoliko bi neko bilo majoranta, postojalo bi takvo da je suprotno tome da je majoranta od . Stoga je supremum skupa .

Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva

(S) povlači (A):

Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su takvi da . Skup

.

Skup je neprazan zbog a odozgo ograničen jer mu je majoranta. Stoga ima supremum . Zbog broj nije majoranta skupa pa postoji takvo da je , odnosno , što je u suprotnosti sa tim da je supremum skupa .

(S) povlači (K):

Neka je inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je . Zbog . Zbog i važi , odnosno , pa je niz neopadajući i za svako broj je majoranta niza (jer je za ma koje ). Stoga je skup nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum , koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni . Stoga je , odnosno .

(A) i (K) povlači (D):

Neka su i kao u (D). Za i važi i konstruišimo nizove na sčedeći način:

, ,

.

Ako je , onda je i .

Ako je , onda je i .

Niz je neopadajući, a niz nerastući, pri čemu je , i . Stoga postoji neko koje pripada svakom od intervala . Takođe je .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Gustina skupa u je posledica od (A).

Neka je . Zbog postoji takvo da je , pa je . Postoji takvo da je . Uočimo najmanje takvo celobrojno . Dakle, , pa .
[ meldonijum @ 29.11.2016. 05:48 ] @
Jesi to prepisao odnekud ili "iz glave"?
[ miki069 @ 29.11.2016. 09:37 ] @
Hvala Nedeljko.

Sve je jasno.
[ meldonijum @ 29.11.2016. 13:15 ] @
Hteo sam da pročitam tu knjigu iz koje je prepisan dokaz.
Ali dobro pošto je tebi sve jasno možda možeš da kažeš:

Kakav je to skup u oznaci R
takav da je unija disjunktnih skupova
i R sadrži tačku c
takvu da c ne pripada ni jednom skupu unije?
[ Nedeljko @ 29.11.2016. 14:01 ] @
Nigde ne piše da c ne pripada nijednom od skupova A i B. Naravno da pripada nekom od njih, ali kom, to ne igra nikakvu ulogu. Bitno je da svaka tačka koja je levo od c pripada skupu A, a svaka koja je desno od c propada skupu B, odnosno i .
[ meldonijum @ 29.11.2016. 16:22 ] @
Citat:
Nedeljko:

Nigde ne piše da c ne pripada nijednom od skupova A i B. Naravno da pripada nekom od njih, ali kom, to ne igra nikakvu ulogu.

Dobro, ja onda pretpostavim "c element A".
U jednom momentu ti u izvodjenju navodiš
Citat:
...
važi c < d < x. Zbog d < x element X važi d element A.
...

No pošto je pretpostavka "c element A" imamo kontradikciju.
[ Nedeljko @ 29.11.2016. 17:30 ] @
Ne možeš to da pretpostavljaš. Može da bude i u skupu B.

Ne znam samo za šta ti to treba.
[ meldonijum @ 29.11.2016. 21:35 ] @
Ma znam da može biti u skupu B. Namerno sam pretpostavio naopako.

c je u stvari max(A) ili min(B)

Za šta mi treba? Iz radoznalosti hoću da pročitam tu literaturu.
[ meldonijum @ 30.11.2016. 09:05 ] @
Ništa od literature?

Onda, kako je "c supremum skupa X" kad je dato da je "X odozgo ograničen podskup od R" a ograničenje nije navedeno?
[ miki069 @ 30.11.2016. 23:14 ] @
Literatura:
http://personal.pmf.uns.ac.rs/...s/sites/17/2015/11/skripta.pdf
[ meldonijum @ 01.12.2016. 01:24 ] @
Zanimljiva skripta. Otprilike za jedan kolokvijum.
Ali tu nema "Dedekindova aksioma".

Dok si još tu a obirom da si napisao da ti je "sve jasno" možda bi ti mogao da objasniš
na osnovu čega za skup X koji je odredjen kao "odozgo ograničen podskup od R" se
izvodi zaključak
Citat:
Pošto za x element X važi važi x - 1 element A

obzirom da je skup A dat sa
Citat:
A = {a element R : (postoji x element X)a < x}

Ja nikako ne uspevam da tu uklopim frazu "Pošto".
Zato sam pomislio da u literauturi iz koje je prepisan dokaz
ima poneka uvodna rečenica koja govori nešto više.

Na kraju sve to i nije bitno ako napisano shvatimo kao skicu dokaza.
[ Nedeljko @ 01.12.2016. 11:57 ] @
A je definisan kao skup svih realnih brojeva manjih od bar jednog elementa skupa X. Pošto x pripada skupu X i x-1<x, važi da x-1 pripada skupu A.

Inače, sve ovo se obrađuje u većini udžbeika matematičke analize 1.
[ meldonijum @ 01.12.2016. 15:54 ] @
OK, ako sam te dobro razumeo frazu
Citat:
Pošto za važi

treba tumačiiti
Citat:
Pošto za bar jedan važi

Tada stoji
Citat:
A je definisan kao skup svih realnih brojeva manjih od bar jednog elementa skupa X. Pošto x pripada skupu X i x-1<x, važi da x-1 pripada skupu A.


U tom slučaju i frazu
Citat:
Neka c nije majoranta od i neka je takvo da je .

treba tumačiti
Citat:
Neka c nije majoranta od i neka je bar jedan takvo da je .

itd, itd...
Zato ostatak dokaza važi samo za takvo x
ali ne mora da važi za ceo skup X, zar ne?

Konačno dobijamo da
Citat:
Stoga je c supremum skupa X.

nije valjan zaključak?

[Ovu poruku je menjao meldonijum dana 01.12.2016. u 17:06 GMT+1]
[ Nedeljko @ 01.12.2016. 16:43 ] @
Za svaki x iz X važi da je x-1 iz A.
[ meldonijum @ 01.12.2016. 23:09 ] @
Sad ne znači "bar jedan" nego
znači "svako" !

Ajd u zdravlje.
[ Nedeljko @ 02.12.2016. 06:19 ] @
Da, to znači da iz uslova sledi .

Ako je prethodno određena vrednost, to znači da je iskaz netačan ili iskaz tačan.

Ako nije prethodno određeno, to znači da ne postoji dopustiva vrednost od za koju je i nije .
[ meldonijum @ 02.12.2016. 08:10 ] @

Ispunjava početni uslov iz "(D) povlači (S):".

Za x = 4 tačno je .

Ali nije tačno .

[ Nedeljko @ 02.12.2016. 15:10 ] @
U (D) povlači (S) postoji definicija skupa preko skupa .

.

Kada zadaš , onda je jednoznačno određen. Ne može se birati proizvoljno.
[ meldonijum @ 02.12.2016. 16:09 ] @
Šta u toj definiciji ne zadovoljavaju skupovi koje sam naveo?
[ Nedeljko @ 02.12.2016. 16:50 ] @
Ne zadovoljavaju to što 4 ne pripada skupu A iako je manji od bar jednog člana skupa X (recimo, od 4.5 koji je manji od 5, pa po definiciji skupa X pripada skupu X).
[ meldonijum @ 02.12.2016. 23:36 ] @
U stvari zadovoljava jer sam
nepostojeći kvantifikator tumačio kao "bar jedan".
[ Nedeljko @ 03.12.2016. 14:47 ] @
Ne uklapa se. Za važi .
[ meldonijum @ 03.12.2016. 17:13 ] @
Hvala!
Primer koji si naveo pokazuje da je potrebno navoditi kvantifikatore.