Trebalo bi da se reši tako što se doda još jedan trougao sa leve strane simetrično. Tako se dobija jednakokraki trougao sa dve stranice po "4".

Bez trigonometrije:






a ti pogodi kako sam izračunao.

Ovako sam ja:

Ma to je formula za jednakostranični trougao.
Ovo je je jednakokraki, ne radi se tako,
Kada bi, recimo, učenici 6. razreda radili petougaonik, a ne rade, onda bi taj trougao bio 1/10 pravilnog petougla.
Pa onda kada bi učenici 6. razreda znali napamet formule za površinu pravilnog petogaonika u odnosu na prečnik opisanog kruga, a ne znaju, onda bi znali da odrede stranice tog trougla bez trigonometrije, a ne znaju.

Pa ovo što sam postavio nije za jednakostranični trougao veċ za jednakokraki. Jednakostranični imaju svi po 60* uglove a ja sam naznačio 54* .

koren iz 3 sa 2 je visina JEDNAKOSTRANIČNOG trougla, ono, ima sve uglove od 60 stepeni.

Aha, primenio sam pogrešnu formulu, sad kapiram, sad ću još malo da se vratim u VI razred.

A evo pitao i veštačku inteligenciju…


Da bismo izračunali visinu jednakokračnog trougla bez trigonometrijskih funkcija, možemo koristiti osnovnu geometriju trouglova i primijeniti neke osnovne principe. Ako su poznati hipotenuza i dva ugla, možemo koristiti pravilo da su suprotni uglovi jednakih stranica jednaki.Ako su dva ugla jednakokračnog trougla θ, hipotenuza h, i baza a, možemo zaključiti da su sve stranice trougla jednake duljine. Zatim možemo koristiti sinus i kosinus tih uglova, ali bez korištenja trigonometrijskih funkcija.Visina trougla će biti jednaka proizvodu hipotenuze i sinusnog odnosno kosinusnog odgovarajućeg ugla. Na primjer, ako su poznati hipotenuza h i ugao θ, visina h1 koja je uz bazu a može se izračunati kao h * sin(θ), a visina h2 koja je uz jednu od jednakih stranica može se izračunati kao h * cos(θ).Dakle, koristeći ove principe, možemo izračunati visinu jednakokračnog trougla bez korištenja trigonometrijskih funkcija.



Ovi su gori od mene…

Rešenje je x = 1+koren(5).

Čisto da se zna, ali nije urađeno elementarnim putem.
Korišćen je cos(36).

Nemam sad vremena, ali mislim da se ugao od 54 stepena podeli polupravom tako da iznad nje ostane 36 stepeni, a ispod nje 18 stepeni.
Tada se dobija jednakokraki trougao koji čine hipotenuza glavnog trougla, poluprava koja deli ugao od 54 stepena i deo katete "x".
Trougao ispod poluprave koja deli ugao od 54 stepena je zbog istih uglova sličan velikom trouglu, pa mogu da se postave jednakosti sa odnosima odgovarajućih stranica, a iz njih bi trebalo da može da se izračuna "x" eliminacijom nepoznate vrednosti za drugu katetu.

Pošto nam stalno govoriš da su ovo zadaci iz osnovne škole bilo bi lepo da slikaš bilo kakvu zbirku gde se isti zadaci nalaze.

Ja sam dovde dobacio, al dalje ni makac…








Možda preko povšine kruga, obima, pravougaonika ….

_{[Ovu poruku je menjao test1234 dana 01.04.2024. u 20:14 GMT+1]}


Korišćenjem Pitagorine teoreme dijagonala pravougaonika može da se izrazi preko stranice kvadrata. Dijagonala pravougaonika je data i ona je 4. Formula ide ovako X (na kvadrat)=(4/2) na kvadrat + (4/2) na kvadrat. Iz ovoga sleduje da je X= kvadratni koren iz 8.

<sub>[Ovu poruku je menjao test1234 dana 01.04.2024. u 22:35 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao test1234 dana 01.04.2024. u 22:37 GMT+1]</sub>

Nije valjda aprililili ;D

_{[Ovu poruku je menjao test1234 dana 01.04.2024. u 22:45 GMT+1]}

Hint: zlatni presek, zlatni trougao

Rešenje je: 1 + koren(5).

Mislim da je elementarno rešenje da se povuče hipotenuzina visina. Onda imamo tri pravugla trougla međusobno slična.


_{[Ovu poruku je menjao sikira069 dana 02.04.2024. u 00:22 GMT+1]}

Ovaj zadatak ima dva dijela.Ja sam napisao dio pod b),a pod a) sam namjerno preskočio da bi bilo malo teže naći rješenje.
Dio pitanja pod a) je za vi razred,a pod b) je za one iz ix razreda osmogodišnje škole jer treba znati rješiti kvadratnu jednačinu.

Pitanje pod a)
Koliki mora biti ugao alfa ovog crnog pravouglog trokuta pa da plavi i crveni istokračni trokutovi budu slični.
Kada to ovi iz vi riješe onda je onima iz ix lako naći x.

Milane sličnost se radi tek u osmom razredu osnovne škole.

Deveti razred ne postoji u osmogodišnjim osnovnim školama.

Postoji beskonačno uglova alfa tako da plavi i crveni trougao budu jednakokraki.

Popravljam!

Pitanje pod a)
Koliki mora biti ugao alfa ovog crnog pravouglog trokuta pa da plavi i crveni istokračni trokutovi budu slični,a da je zeleni istokračan.
Kada to ovi iz vii riješe onda je onima iz ix lako naći x.

Ovo sad po novom brojanju razreda ispada da osmoljetka ima devet razreda:ubačeno je nešto na početku valjda.Ja sam sličnost učio u drugom gimnazije(niže).

Kasnije je to nazvalo šestim .Pa onda su prvi gimnazije nazvali petim,a umjesto nastavnika to su preuzeli učitelji.Sada je nekadašnji šesti valjda sedmi zbog onog ubačenog.
Izgleda da nema učiteljske škole?

Kako nastaje plavi trougao?

Tako što mu je visina y, a jedan krak osnovica crvenog ..

Baš sam se zapetljao.To je nama pokazivao pokojni Ilija Stojaković,polako i postepeno,i za svaki novi korak zaključivanja je bilo pitanje"ko zna?"
Ko pogodi dobije plus.
Evo popravke crteža.

Prelep zadatak.

Posle se lako dokaže da je X = 1 + koren(5).

Dobija se kvadratna jednačina: x^2 - 2*x - 4 = 0.

Ako se cos(36) rešava iz Moavrove formule dobija se jednačina petog stepena i mnogo je komplikovanije.

Da li si ti siguran da se u VI osnovne uci kvadratna jednacina? Vidis, ja sam SVE iz matematike zaboravio, ali se dobro secam prvog casa matematike u prvom razredu gimnazije, gde je profesorka ispisala veliki naslov "Kvadratna jednacina" i podvukla ga s 2 krede u boji. :-) Tako sam zapamtio i to da je taj deo aritmetike spadao u I razred.

Doduse, ako osmoljetka moze da ima deveti razred, onda ni 2+2 vise izgleda nije 4 ... tako da me ne bi cudilo ni da su kvadratnu jednacinu izmestili ranije, valjda racunaju da smo mi bili gluplji od ove danasnje dece, ili sta vec ...

Bas sam proguglao da nadjem tog De Moavra, jer se toga tek ne mogu da setim ... i sad sam video sta je to. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja smo mi ucili tek na FAKULTETU - ETF II godina studija, tadasnja Matematika 2 (sadasnja 3 ili 4) - u okviru kompleksne analize. :-)))

Posto ne sme da se koristi trigonometrija,
oko pocetnog trougla se konstruise pravilan petougaonik, a potom se koristi formula o odnosu dijagonale i stranice pravilnog petougaonika.
Ubrzo se dobija x.

Ovaj zadatak je sa neke mat.olimpijade.Lako je formirati kvadratnu jednačinu iz sličnosti trokutova ako se zna da je onaj zeleni istokračan.
Računanje ugla alfa iz tog uslova je posve jednostavno,ali iz podatka da je alfa=54° doći do zaključka da je zeleni istokračan,Kako?
Jedino ako je poznata ona jednostavna računica za 54°.

Zapravo i nije baš previše teško dokazati da je zeleni trokut istokračan.Na slici je šema zaključivanja.

Kvadratna jednačina se uči u II godini srednje škole.
Na nekim matematičkim smerovima se uči u I godini srednje škole.

Odnosi iz petougla nisu smeli da se koriste u rešavanju, jer koriste cos(36).

Ovaj zadatak je dokaz tih odnosa, ali bez trigonometrije.

Uposte nije poterbna trigonometria da se odrede odnosi iz pravilnog petougla.

Nije portebna trigonometrija, ali se dobija kvadratna jednačina.
Jedino ako učenici znaju za zlatni presek i iz koje jednačine se dobija (iako ne znaju da je reše), pa kad preko sličnosti trouglova nađu odnos dijagonale i stranice, da prepoznaju da je to zlatni presek.
Druga varijanta, ako to jeste zadatak sa neke olimpijade, onda je to za srednjoškolce ili eventualno za učenike koji u 7. i 8. razredu osnovne škole pohađaju nastavu po programu Prirodno-matematičke gimnazije.

Bas tako - zapravo inverzni inzenjering zlatnog preseka. :-) Ako bazu (najkracu stranicu) plavog trougla oznacis sa a, bazu crvenog trougla oznacis sa b, a krak zelenog sa z, tada je zakon zlatnog preseka:

4 / z = z / a

Na drugoj strani, ako primenis slicnost crvenog i plavog trougla i posmatras odnos krak/baza ta dva trougla, onda dobijas:

4 / b = b / a

Iz ova dva sledi da za b = z postizes zlatni presek, a on se postize kada je crveni trougao zlatni, gde je ugao izmedju baze i kraka 72 stepena, sto znaci da je ugao izmedju krakova crvenog i plavog trougla po 180-2*72 = 36 stepeni. Ugao na temenu zelenog trougla je 180-72 = 108 stepeni, sto znaci da su uglovi izmedju baze i njegovih krakova (180-108)/2 = 36 stepeni. I sve se lepo uklapa, zeleni trougao je samim tim jednakokraki (b=z).

Donji desni ugao crnog trougla je zato 90 - 36 = 54 stepena.

I tako dalje ...

Nemam ništa protiv zlatnog preseka, ali on se ne može tako lako uočiti u petouglu. Dokaz je upravo ovaj zadatak.

Idemo dalje. Pošto je pravilan šestougao trivijalan, a sedmougao nerešiv, prelazimo na osmougao.

Hipotenuza je 4, a oštar ugao 67.5 stepeni.
Kolika je naspramna kateta?

zzzz je sklon manipulacijama pa nemam zelju da resavam njegove zadatke.

Ali nesto me interesuje u vezi crteza TRokut3.png:
Kako je konstruisan ugao alfa?

Ovo pitanje je za iv osnovne.Treba samo ukucati na googl "zlatni presek",pokupiti tu slikicu
i dodati nedostajući dio kružnice i onu horizontalu.

Evo su zadaci za 6. razred: https://zadaci.net/matematika-6-razred-zadaci/
Nađi zadatak konstruisanja pravouglog trougla čiji je jedan ugao 54 stepena.
Hint: nema takvog zadatka.

Ti uzmeš nešto, osakatiš zadatak, zadaš uslove da je "normalno" da se koristi trigonometrija, a onda kažeš da se reši bez trigonometrije.
Nadam se da nikada nisi bio nastavnik ili profesor matematike...

Za zlatni presek ne znam da se uopste radi u osnovnoj skoli u redovnoj nastavi.
Za kvadratni koren znam da se radi u 7. razredu osnove.
Pa da i znaju za "zlatni presek" ucenici 6. razreda nece znati da izracunaju koren iz 5. Ne da nece znati da izracunaju nego nemaju pojma sta je koren.

Ugao od 54 stepena se ne moze konstruisati sestarom i lenjirom bez oznaka.

Ti si preuzeo neku sliku sa interneta i na to nesto skicirao ne izvodeci geometrijsku konstrukciju kako si to povezao.


---

Ipak taj zadatak moze da resi ucenik 6. osnovne.

Povuce horizontalnu pravu liniju p i na njoj s desne strane oznaci tacku B.
U tacku B zabode sestar i napravi luk l poluprecnika 4.
Iz tacke B odmeri uglomerom 54 stepena i povuce pravu liniju do luka l.
U preseku oznaci tacku C
Ostalo je da normalom spoji tacku C sa pravom p i tacku preseka oznaci sa A.
Rastojanje AC odmeri (oznacenim) lenjirom i zadatak resen.

Zadatak je tezak jer za ucenika 6-tog razreda ima dosta posla i postoji sansa da pogresi.
Ali sve radnje koje sam naveo pripadaju u nastavu geometrije 5-tog i 6-tog razreda.

Cetvrti razred osnovne skole? Kvadratni koren u cetvrtom razredu osnovne skole?!

Nemam komentara.

Mi smo ucili binarni sistem u drugom osnovne.

Mi smo spavali na dnu jezera i jeli hladan šljunak


_{[Ovu poruku je menjao MajorFatal dana 09.04.2024. u 17:10 GMT+1]}

1 + koren(5) je rešenje .. :)

Ona prethodna poruka je za brisanje ..

Majore zadatak je rešen pre sedam dana.

Znam, i čestitam ti .. zatiltovao mi mozak sa ovim koren(5)/2 i 1/2 pa sam bio nešto ispisao, pa shvatio da je netačno, pa probao da popravim, pa mi forum nije dao, onda ispisao novu poruku sa tačnim rešenjem (samo kao potvrda), pa mi onda forum dozvolio da popravim prethodnu poruku, i upisao jezero .. izvini zbog toga ..

Tvoj zadatak ću probati čim stignem, mada deluje preteško za mene ..

Mnogo je lakši od petougla.
Nije potrebno nikakvo docrtavanje.
Samo da se ugao od 67.5 stepeni podeli logično.

Jako griješiš.

Evo dole skice kako bi to đak vi razreda koji ima šestar,olovku i lenjir fino uradio.A poslije ću objasniti kako je taj prokleti ugao 54°
nastao i zašto je uopšte nastao.Rječnikom i logikom učenika vi razreda,a uz pomoć kineske zastave.

Verujem da dete u VI razredu, pogotovo ako je talentovano za matematiku, ide na takmicenja itd. sve ovo moze da resi u 2-3 poteza. Takve zadatke sam i ja resavao u skoli.

Nama starijima se to cini tesko, jer smo mi sve to posledni put pipnuli pre 50 godina. Ali recimo, ljudima koji zive od casova matematike (a takvi su na ovom forumu izgleda vecina) ili ovima koji imaju decu, pa s njima rade domace - sve je to opet nekako lagano. Stvar treninga. :-) Ja niti drzim casove, niti imam decu.

Nije moj zadatak, video sam negde na netu, ali spada u ovaj serijal rekao bih, samo ne znam za koji razred, a zadatak glasi: Odrediti Sin Pi/5. Sinusi Sin Pi, Sin Pi/2 , Sin Pi/3 , Sin Pi/4 i Sin Pi/6 su dobro poznati, u tom nizu nedostaje samo Sin Pi/5 ... ?

Majore, rešenjem onog zadatka sa 54 i 36 stepeni elementarnim putem je nađeno da je cos(36) = (1+koren(5))/4.
Mislim da posle nije teško da se nađe sin(36).
Pi/5 = 36 stepeni.

Drugi način je preko Moavrove formule za kompleksne brojeve.

Dobije se izraz za par članova komplikovaniji od 1+koren(5) , ali ne bih nikom da kvarim zadovoljstvo da rešava ..

Ovaj dole zadatak bi možda trebao biti otvoren kao novi.Ali eto sikira069 je to ovdje ubacio.
Ja sam razumio da je to kao na crtežu što prilažem.Ako nije neka autor pojasni,a ja ću ispraviti.

Treba da stoji ucenik 6-tog ne moze konstruisati.
Kako moze vec sam objasnio.


Mehanicki moze ali potrebno je razumeti.
Ucenik 6-tog razreda ne razume takvu konstrukciju :)

Ugao od 54 stepena moze se na nekoliko nacina konstruisati pomocu pravilnog petougla.
Ali neke konstrukcije (da bi se razumela) traze resavanje kvadratne jednacine.
To nije gradivo 6-tog razreda.
Takodje konstrukcija pravilnog petougla nije gradivo osnovne skole.

Pa sad, sve zavisi od ucenika. Imas standardnu decu, strebere koji idu na takmicenja i one "summa-cum-laude" strebere koji idu na medjunarodne olimpijade.

Zadaci za takmicenja verovatno ukljucuju te egzoticne konstrukcije uglova, stavise i ja sam isao na takmicenja u osnovnoj i srednjoj skoli ...

Ali da, to je posebna kategorija zadataka koja nije za standardne djake.

U kocki je velika dijagonala pod uglom 36 stepeni u odnosu na bazu ..

Nije Majore.
Ugao je 35.26 stepeni.

Woah! Daj nemoj me zezati .. zato mi je za nijansu vrljav onaj crtež sa kockama što se preklapaju, a ja se čudim šta je ... Hvala!