[ Bojan Basic @ 25.03.2005. 19:21 ] @
Neka je dato 18 tačaka u prostoru takvih da nikoje 4 nisu komplanarne. Dokazati da među tetraedrima koje one obrazuju postoji bar jedan koji zadovoljava uslov da je svaka njegova ivica zapravo najveća ivica u nekom drugom tetraedru.
[ trifunca @ 31.03.2007. 00:11 ] @
Posto su 18 tacke rasute u prostoru,ako uzmemo 4 najudaljenije jednu od druge,dobicemo najveci tetraedar u tom prostoru.A posto ima 18 tacaka samim tim ima toliko tetraedara da duzi koje obrazuju najveci tetraedar moraju da se nadju u drugim tetraedrima.
[ qzqzqz @ 06.10.2007. 10:31 ] @
Oznacimo duz AB (gde sy A i B bilo koje od tih 18 tacaka) plavom bojom ako postoji tetraedar sa temenima u datim tackima kome je AB najduza ivica, a crvenom bojom suprotno. Kako je R(4,4;2)=18 (Ramzejev broj) to postoje 4 tacke, recimo A,B,C,D takve da su sve duzi AB,AC,AD,BC,BD, CD obojene istom bojom. Ta boja ocigledno ne moze da bude crvena pa mora biti plava, tj. za svaku ivicu od tetraedra ABCD postoji tetraedar u kome je ona najveca ivica.
[ Bojan Basic @ 06.10.2007. 21:57 ] @
Postoji jedan problem s tvojim rešenjem. Naime, dokazao si da postoji tetraedar takav da je svaka njegova ivica najveća u nekom tetraedru (što, dakle, uključuje i njega samog), a u zadatku se traži da bude najveća u nekom drugom tetraedru.

No, po originalnoj postavci traži se baš ovo što si ti dokazao, a ja sam prilikom prenošenja postavke ovde greškom, priznajem, ubacio i tu reč „drugom“, ne primećujući da ona menja smisao.

Svejedno, ispostavlja se da i ovako modifikovan zadatak ima rešenje, a kako ono predstavlja samo malu modifikaciju ovog što si ti napisao, i budući da to nije suština, dodaću sam korak koji nedostaje (za one koji bi hteli da sami pokušaju, neka ne čitaju dalje).

Ukoliko se ispostavi da najveća ivica pronađenog tetraedra nije najveća ni u jednom drugom tetraedru, prebojimo nju u crveno. Nakon ovoga i dalje ne postoji tetraedar čije su sve ivice crvene (pronađenom su sve ostale plave, u ostalim tetraedrima koji sadrže prebojenu ivicu ona nije najveća, te postoji neka druga — plava). Sledi da opet postoji plavi tetraedar, pa ukoliko on zadovoljava tražene uslove, tu stajemo; ukoliko pak ne, ponavljamo ovaj postupak (koji će jednom morati da se zaustavi, jer svakim korakom smanjujemo broj plavih ivica).

Ovaj zadatak je konačno skinut s liste nerešenih.