Postupak razdvajanja varijalbli se svodi na sledece
jednacinu treba transformisati tako da dobije oblik
f(y) dy = g (x) dx
odnosno ako je moguce naci integrale u leve i desne strane
d (F(y) - G(x)) = 0
Resenje ove jednacine je
F(y) - G(x) = C
odnosno ako je moguce naci inverznu funkciju od F(y)
y = F^-1(C + G(x))

Pocetni uslov se koristi da se odredi nepoznata vrednost konstante
integracije C i da se eventntualno izabere jedna od vise resenja
inverzne funkcije F



na konkretnom primeru

(x² y+ y)y' +x y² + x = 0
<=> (x² y+ y)y' = - x y² - x
<=> (x² + 1) y y' = - x (y²+1)
<=> y y' / (y²+1) = - x / (x² + 1)
<=> y dy / (y²+1) = - x dx / (x² + 1)
<=> d ( y² + 1 ) / (y²+1) = - d (x² + 1) / (x² + 1)
<=> d ln (y² + 1) = - d ln (x² + 1)
<=> d ( ln (y² + 1) + ln (x² + 1) ) = 0
<=> d ( ln [ (y² + 1) (x² + 1)] ) = 0
<=> ln [ (y² + 1) (x² + 1)] = C₁
<=> (y² + 1) (x² + 1) = C₂
<=> y² + 1 = C₂ / (x² + 1)
<=> y² = C₂ / (x² + 1) - 1
<=> y₁ = √[ C₂ / (x² + 1) - 1 ],
/\ y₂ = - √[ C₂ / (x² + 1) - 1 ]

pocetni uslov y(x=0) = 2 iskljucuje y₂

i dobijamo na kraju vrednost nepoznate konstante

4 = C₂ - 1
<=> C₂ = 5

=>
y = √[ 5 / (x² + 1) - 1 ]
<=> y = √[ (4 - x²) / (x² + 1) ]