[ atlas @ 28.03.2005. 01:15 ] @
Evo nekoliko zadataka, ko zna nek ponudi resenje:
-------------------------------------------------------
1) Rijesiti u skupu N sistem jednacina:

x(y+z+xyz)=62
y(z+x+xyz)=90
z(x+y+xyz)=116
--------------------------------------

2) U pravouglom trouglu ABC ugao A je 90°, "h" i "s" su duzine visine i simetrale unutrasnjeg ugla iz vrha A. Dokazati da vrjedi nejednakost h+s ≤ a
(a-hipotenuza trougla)
----------------------------------------------------------
2^3 znaci=2 na trecu(kub)
3)Neka su x,y prirodni brojevi takvi da vredi 4^(x-2) + 4^(y+2) ≤ 2^(x+y+1)
Dokazati da je zbir 2^(x) + 2^(y) deljiv sa 34.
-------------------------------------------------------------
4)resiti:
4^[sin^2(pi*x) + 3*4[cos^2(pi*x)≤8
---------------------------------------------------------
[ KPYU @ 29.03.2005. 03:56 ] @
1. Uvedimo smenu: xy=p, xz=q, yz=r. J-ne postaju

p+q+pq=62 <=> 1+p+q+pq=1+62 <=> (p+1)(q+1)=7*9
p+r+pr=90 <=> 1+p+r+pr=91 <=> (p+1)(r+1)=7*13
q+r+qr=116 <=> 1+q+r+qr=117 <=> (q+1)(r+1)=9*13

Izmnožimo međusobno ove poslednje oblike i dobijemo
((p+1)(q+1)(r+1))2=(7*9*13)2

x,y,z > 0 => p,q,r > 0 , tim pre je i p+1>0, q+1>0, r+1>0

Dakle (p+1)(q+1)(r+1)=7*9*13

Eh, sad ovu jednačinu delimo sa svakom od prethodnih i dobijemo

r+1 = 13, q+1 = 9, p+1 = 7

Sad vratimo smenu

xy = 6
xz = 8
yz = 12

i opet izmnožimo

(xyz)2 = 48*12 =4*12*12
xyz = 2*12 = 24 (opet zbog pozitivnosti x, y i z)

Opet delimo svakom jednačinom

z = 4, y = 3, x = 2
[ KPYU @ 29.03.2005. 04:48 ] @
4. Ajde ponovi, ovaj put lagano...

2. Mrzi me, kasno je...

3. Upotrebićemo nejednakost geometrijske i aritmetičke sredine tj formulu

, gde jednakost važi akko A = B

U našem slučaju



tj

Sada imamo

(nejednakost Ar i Geom sredine), te
(uslov zadatka)

Dakle , a to važi akko


Pa onda je

Ako je y prirodan broj, onda je ovo ceo broj, koji je deljiv sa 17 i sa 2
[ KPYU @ 30.03.2005. 00:38 ] @
3. Dokazaćemo da je

Pretpostavimo suprotno, tj h > a/2 tj 2h > a
2h > a <=> 2ah > a2 <=> 2bc > b2 + c2 <=> 0>(b-c)2, što je netačno.
(Koristili smo a2 = b2 + c2 i ah = 2P = bc gde je P površina)
Dakle ne sme biti h > a/2.

Za s je malo komplikovanije. Prvo iz sinusne teoreme imamo



Pošto je zbir svih uglova u trouglu uvek isti vidimo da je


Dakle Razume se da su svi uglovi u radijanima.

Takođe znamo da je pa je samim tim


E, a sad nejednakost između Harmonijske i Aritmetičke sredine


Ovo, sad znači da

Dalje zbog

Dakle

Još možemo primetiti da u prvoj nejednakosti važi jednakost akko b = c, a u drugoj akko
Dakle s+h=a akko b=c