Ajde ja da odgovorim kad već niko neće, mada su mi zadaci poznati od ranije.

1. Na takmičenju bih, naravno, bez razmišljanja lupio Mjurheda, ali kad već insistiraš našao sam i elegantno rešenje (za koje mislim da je dosta elegantnije i od zvaničnog, ali to je već stvar ukusa).

Pretpostavimo da je neki od činilaca sa leve strane negativan, npr. . Tada je i , pa je očigledno da je leva strana nejednakosti negativna (jer je tačno jedan činilac negativan), a samim tim i manja od .

Preostaje nam slučaj kada su svi činioci sa leve strane pozitivni. Primetimo da je , pa sledi . Množeći ovo sa analognim nejednakostima dobijamo iz čega neposredno sledi tražena nejednakost.

Što se tiče drugog zadatka, tu znam samo zvanično rešenje pa i nije baš neki fazon da to samo prekucam ovde, porazmisliću malo o tome ovih dana pa ako mi padne neka druga ideja na pamet javiću, a ako ne (i ako ne bude zainteresovanih za rešavanje zadatka) onda ću napisati to oficijelno rešenje. Nego, da li si siguran da treba eksplicitno navesti koji je to broj, pošto koliko ja znam pitanje je bilo samo da li takav broj postoji ili ne?

U pravu si, ja sam pogresno preveo tak zadatak. Trazi se samo da se odredi da li taj broj postoji ili ne (broj postoji). Vezano za prvi zadatak, resenje je elegantno, priznajem, mada cu uskoro okaciti i svoje.
(malo kasnim, jer sam do pre sat i trideset minuta bio na eskurziji u Italiji)

Na pretraživaču www.google.com ukucavši Mathematic Olympiad sam uspeo da pronađem ove zadatke. To su dva zadatka sa matematičke olimpijade 2000. godine. Međutim, ni na jednom od ponuđenih rezultata pretraživača nisam našao rešenja. Ali, profesor Hojoo Lee, koji ima velikog udela u sastavljanju zadataka za olimpijade je izneo određene teoreme, među kojima je i Euler's Theorem. (Dakle, ja ne znam zvanična rešenja tih zadataka, mada verujem da se ovo rešenje donekle i poklapa sa onim zvaničnim.) Njih ima više, ali ona koja mi koristi da uradim prvi zadatak glasi: Neka su x, y i z takvi brojevi da je x,y,z > 0. Tada važi: (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)<=xyz. Korišćenjem toga lako dolazimo do rešenja za prvi zadatak:
Uvedimo smenu: a=x/y, b=y/z i c=z/x (x,y,z > 0 ). Tada je: (x/y-y/y+z/y)(y/z-z/z+x/z)(z/x-x/x+y/x)<=1. Odavde dobijamo (x+z-y)(y+x-z)(z+y-x)<=xyz. (Uvedena smena je moguća, jer je abc=1.)

Kako sam rekao da nemam rešenja ovih zadataka, zamolio bih te da okačiš rešenje drugog, jer i nisam uspeo dokazati da taj broj postoji, mada sam ubeđen da postoji. Sada evo još jednog zadatka (ako imaš bilo kakvo rešenje, tvoje ili zvanično, molim te okači).
Zadatak: Mađioničar ima 100 karata koje raspoređuje u tri kutije: crvenu, belu i plavu, tako da svaka sadrži bar jednu kartu. Njegov pomočnik izabere dve od tri kutije, po jednu kartu iz svake i saopšti zbir izabranih karata. Kada čuje traženi zbir, mađioničar utvrđuje kutiju iz koje nije izabrana karta. Koliko načina postoji da se sve karte stave u kutije tako da ovaj trik uvek uspe? (Dva načina su različita ukoliko je najmanje jedna karta stavljena u drugu kutiju.)