Slučajno mi je poznat zadatak ;). ja sam preko Jensena uradio tako što uvedeš smenu , , gde je i dalje će ti se kasti samo. Probaj pa ako zapneš javi.

To je to, hvala!

Sada me interesuje jos nesto. Recimo da imamo neku funkciju vise promenljivih, konkretno . Da li je tacno sledece:

Funkcija je konveksna ako vazi:
.

Za konveksnu funkciju 3 promenljive vazi:
.

Ako je tacno, da li se konveksnost ovakve funkcije moze dokazati preko izvoda, kao sto moze za funkciju jedne promenljive?

Prema definiciji funkcija gde je neki vektorski prostor (ako ne znaš šta je vektorski prostor samo zamisli to kao funkciju više promenjivih, to je to u suštini) je konveksna ako za svako i za svako važi .

Provera preko izvoda je moguća ali je nešto složenija nego kod funkcija jedne promenljive. Neka je funkcija dva puta diferencijabilna. Posmatrajmo sledeću matricu:

Funkcija je konveksna na nekom intervalu akko je pozitivno definitna (positive definite) za sve .

Kao što vidiš situacija se prilično komplikuje uvođenjem više promeljivih, ali dobra ideja nekad ume jako da pojednostavi stvari. Primera radi, dokazati da je funkcija za neke fiksne konkavna (nije teško ali ovakva ideja ume da bude od koristi pa sam zato napisao ovaj primer).

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 06.10.2007. u 22:30 GMT+1]}

Ma to ti je izvod drugog reda... Nisam bas siguran da li je to potreban i dovoljan uslov konveksnosti :-)

Čekaj bre, Aco, jesi li siguran da to ne valja? Ja sam oduvek tako radio i bilo je OK.

P. S. Evo sad nađoh i neke reference o tome na netu, pogledaj http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/CVNF.HTM.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 19.05.2008. u 00:49 GMT+1]}

(Hessian test). A twice differentiable function is convex in a region if and only if the Hessian matrix is positive definite everywhere in the region.

Ovo sam nasao u nekoj PDF knjizi. Nema neki naziv, a zaboravio sam link, pa ako nekoga interesuje poslacu mu je.

U pretposlednjem redu se pozivamo na konkavnost funkcije .

glumi iz Bojanovog posta.

Ne znam zašto se nigde ne pominje svođenje dokazivanja konveksnosti funkcija više promenljivih na slučaj jedne promenljive, pa hajde ja da napišem.

Neka je funkcija definisana na konveksnom domenu. Tada je funkcija (strogo) konveksna (odnosno konkavna) akko je za ma koje različite tačke i funkcija

za .

Tada se u slučaju diferencijabilnosti, odnosno dvostruke diferencijabilnosti može koristiti kriterijum za funkcije jedne promenljive, s tim da se to mora dokazati za sve međusobno različite i iz domena. Ukoliko je funkcija definisana preko neke funkcije jedne promenljive kao u navedenom zadatku, onda se lako rešava onako kako je Sonec napisao.

Za funkcije jedne promenljive važi da je funkcija , gde je pravi interval (ograničen ili neograničen) (strogo) konveksna akko je zadovoljen bilo koji od sledećih ekvivalentnih uslova:

1) Za ma koje takve da je važi da je determinanta



(strogo) veća od nule. Ovde "veća" bez "strogo" znači "veća ili jednaka".

2) Pod uslovom da je najmanja vrednost intervala , funkcija je (strogo) konveksna na intervalu , važi da je .

3) Pod uslovom je najveća vrednost intervala , funkcija je (strogo) konveksna na intervalu , važi da je .

4) Ako za barem jedno važi da je funkcija , (strogo) monotono neopadajuća. Ovde "strogo monotono neopadajuća" znači "strogo rastuća".

5) Ako za svako važi da je funkcija , (strogo) monotono neopadajuća.

6) Pod uslovom da interval nema najmanju niti najveću vrednost i da je funkcija diferencijabilna na njemu, važi da je funkcija monotono neopadajuća, i da u slučaju da se traži stroga konveksnost važi da nije konstantno ni na jednom pravom intervalu.

7) Pod uslovom da interval nema najmanju niti najveću vrednost i da je funkcija dva puta diferencijabilna na njemu, važi da je funkcija nenegativna, i da u slučaju da se traži stroga konveksnost važi da nije konstantno jednako nuli ni na jednom pravom intervalu.