Pomenuti četvorougao nije tangentan nego tetivan, a za njega važi Ptolomejeva teorema.

lapsus calami

Evo uradio sam ga sinoc. Koristi se osobina da su periferijski uglovi nad istom tetivom jednaki i kosinusna teorema (nikako Heronove formule kako se iscimah prvog puta):

<DAC i <CBA su periferijski nad CD koja se trazi, tako da mozemo da ih oznacimo npr, sa β jer su jednaki; onda vazi po kosinusnoj teoremi

CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2*BC*BD*cos β;
CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2*AD*AC*cos β;

sto je sistem od dve jedn. i dve nepoznate koji se lako resava
(to je taj nacin, ako sam napravio neku gresku u kucanju ignorisite)

Ptolomejeva teorema.

Ukoliko je ABCD tetivni 4-ugao, kome su dijagonale AC i BD tada je

Kad ste vec spomenuli Prolomejevu teoremu postoji njeno uopstenje: Casey theorem koja kaze:

Ako imamo cetiri kruga (1, 2, 3, 4) koji svi dodiruju neki krug K, i to bas redom 1, 2, 3, 4, onda je

gde je zajednicka tangenta krugova x i y, i to spoljasnja ako su sa iste strane kruznice K, a unutrasnja ako su su razlicitih.

Ptolomejve je specijalan slucaj Casey gde su krugovi tacke.

Da dodam još dva uopštenja Ptolomejeve teoreme:

1) Fuhrmann's Theorem

Za konveksan tetivan šestougao važi:


2) Tweedie's Theorem

Neka su data dva direktno slična trougla i i neka je njihov odnos stranica . Tada se od duži , i može sastaviti trougao koji je degenerisan (tj. pretvoren u duž) akko centar rotacione homotetije koja slika u leži na kružnicama opisanih oko ovih trouglova.

Ovo za sestougao nisam znao, prilicno zgodna stvarcica. Jel postoji neko uopstenje za pravilan tetivni 2n-tougao, posto se on aproksimativno moze smatrati krugom ?

Ne znam da li postoji tako nešto, mislim da ne. Jedina stvar koja mi donekle liči na to tvoje je

Generalization of Van Schooten's Theorem:

Neka je pravilan 3n-tougao upisan u kružnicu i neka je P proizvoljna tačka te kružnice. Spajanjem tačke P sa svim temenima pomenutog 3n-tougla dobijamo 3n lukova pri čemu važi da je suma 2n najkraćih jednaka sumi n najdužih.

(Sama Van Schooten's Theorem se osvrće samo na slučaj trougla, ali postoji i ova generalizacija koju sam gore napisao.)