Ako želimo da rastavimo ovaj polinom nad Q[x], to znači da želimo da bude
gde su p₁ i p₂ ne-konstantni polinomi iz Q[x]. To znači da jedan od njih mora da bude linearan, a to opet znači da P mora da ima bar jednu racionalnu nulu. Neka je to x₀. Dakle neka je


Tad mora biti , tj
gde je b broj, a a ceo broj. Sad vidimo da a deli b, i da b deli a. Onda je

Ali

Zaključak: ne postoji racionalna nula, dakle p(x) nije rastavljiv.

Evo malo price oko zadatka pod v) i g)

v)
Neka je ta realna nula.
Vidimo da

Sad, pitanje je da li je obrnuto?

Svejedno, je minimalni polinom za
a vazi

Vazi


malo se sredi i zameni

pritom (jer je nula polinoma p)
dobije se sistem jednacina:
-a -2b = 1
a + c = 0
-4a - b - c =1
-2a + d =1

kad se resi dobije se


Ja se nadam da je racun dobar, a ako ima logickih gresaka... Javite!

g)
Ovo me posebno interesuje, naci

Da li se moze naci polinom iz takav da je
?

I, ako moze, hoce li biti uzajamno prost sa p ?

Jer, posmatrano kao elementi iz prstena postojace u i v polinomi takvi da vazi


a u i v se odrede Euklidovim algoritmom, i to je to.

Poz

Mislim da je ovako lakšije & tačnije

Vidimo da je


Zbog toga je

i


gde je


Ponavljam



Lako se vidi da je sistem polinoma linearno nezavisan, i da je sistem
linearno zavisan.

Ovu linearnu zavisnost shvatamo uslovno. Naime lambde shvatamo kao polinome najviše 2 stepena po alfama.

Pokušaću da obrnem proces izražavanje. Dakle alfe preko lambdi:



Na kraju



tj

Ovo je ujedno minimalni polinom, jer ako ne bi bio on, no neki manjeg stepena



Pošto je minimalni polinom za alfu stepena 3, ovo mora biti 0 polinom.

Kao što vidimo dokaz za minimalnost zapisanog polinoma je dokaz o lin nez stepena lambdi preko alfi

btw minimalni polinom je uvek jediničan, tj nemojte ga množiti ikakvim brojem

Čekaj, valjda je i . Ali zar iz ne sledi , odakle imamo ? Kako je odatle ?



Odnosno, ovaj polinom drugog stepena nije nula polinom za , jer bi inače bio „minimalniji“ od minimalnog polinoma za . I, minimalni polinom je moničan.

OK formalisto

Neka je rešenje jednačine razlomak gde je NZD(a,b)=1.

Dakle imamo

Međutim NZD(a, b)=1, te postoje p i q (celi brojevi) takvi da je ap+bq=1 , tj bq=1-ap, tj.
te vidimo da je

tj


Analogno tome b|1, te najzad


Na kraju bih dodao

Neka je

Tada

U pitanju je teoremica koja se radi u srednjoj školi (bar bi trebala da bude tada rađena^*), koja se, za pitanja pismenog iz algebre, može koristiti bez dokaza




^* Tj ja sam je radio i kao učenik i kao profesor

Profesionalna deformacija.



Da. Ključna reč: trebalo.

Hvala na pomoći.

Srdačno,
Cabo

Evo, našao sam rešenje pod g.). Važi:



odakle je:



Što je traženi broj .