Jedna mala ispravka:

Ako je funkcija na nekom intervalu definisana onda se za nju kaže da je Jensen konveksna (ili J-konveksna) ako zadovoljava uslov na tom intervalu. Taj uslov je slabiji od uslova konveksnosti koji glasi za sve i sve Funkcije koje su J-kionveksne, ali nisu konveksne, ne mogu se konstruisati (odnosno ne može se zapisati kako izgledaju), ali se može dokazati da postoje. Drugim rečima, iz uslova J-konveksnosti se ne može izvesti uslov konveksnosti. Ukoliko pretpostaviš samo J-konveksnost funkcije na intervalu koji se sastoji od više od jedne tačke, za za koje je za sve tačno u slučaju kada su racionalni brojevi.

Da bi funkcija bila konkveksna na intervalu potrebno je i dovoljno da na njemu bude J-konveksna i da bude neprekidna u njegovoj unutrašnjosti. Takođe, sa konveksnošću funkcije na intervalu ekvivalentno je da je ta funkcija J-konveksna na njemu i da za svako postoji okolina tačke takva da je funkcija ograničena na skupu

Takođe, koveksna funkcija ne mora biti nijedanput (a kamoli dvaput) diferencijabilna. Međutim, ako je funkcija na nekom intervalu dva puta diferencijabilna, onda je ona na njemu konveksna ako i samo ako joj je drugi izvod nenegativan.

Ovo je vrlo zanimljivo
Ako sam dobro shvatio, kad bi uslov konveksnosti bio izvodljiv iz uslova J-konveksnosti, onda bi te (postojeće a neiskazive) f-je bile zapisive?
Kada kažeš izvodljiv, da li misliš na konstrukciju formalnog dokaza?

Nedeljko, da li bi mogao, ako te ne mrzi, da elaboriraš ovo malo?

Formalno se dokazuje da postoje J-konveksne funkcije koje nisu konveksne. Međutim, tu se koristi Cornova lema i samo se dokazuje da takva funkcija postoji. Sama funkcija se ne konstruiše.

Recimo, polje R možeš posmatrati kao vektorski prostor nad poljem Q kao poljem skalara. Dimenzija vektorskog prostora R nad poljem skalara Q je beskonačna (čak kontinuum). Pomoću Cornove leme dokazuje se da svaki vektorski prostor (nad bilo kojim poljem skalara) ima bazu. Neka su A i B dve baze vekstorskog prostora R nad poljem skalara Q takve da . Takođe pomoću Cornove leme dokazuje se da su svake dve baze istog vektorskog prostora ekvipotentne (postoji bijekcija između njih). Sve ovo je dokazano na primer u algebri od Veselina Perića. Svako preslikavanje baze vektorskog prostora u neki (moguće i drugi) vektorski prostor nad istim poljem skalara se može na tačno jedan način dopuniti do linearnog preslikavanja između tih vektorskih prostora. To preslikavanje je 1-1 ako i samo ako je slika baze (kao familije vektora) linearno nezavisna familija vektora, odnosno to preslikavanje je na ako i samo ako je slika baze generatrisa prostora kodomena.

Presliakaj bijektivno bazu A na bazu B uz jedine uslove da se jedinica slika u sebe i da se to preslikavanje ne svede na identitet (ako su baze A i B iste). To preslikavanje ćeš moći da dopuniš do linearne (u odnosu na polje skalara Q) bijekcije f vektorskog prostora R na sebe samog koje se na Q svodi na identitet. Ne samo da će f biti J-konveksno, nego će umesto nejednakosti važiti jednakost. Međutim, ako bi bilo konveksno, bilo bi i neprekidno, pa bi zbog svođenja na identitet na Q bilo identitet i na R, što je u suprotnosti sa našim izborom presliakvanja koje bar jedan bazni vektor ne slika u sebe. Ako ti se ne sviđa što funkcija nije strogo J-konveksna, možeš da je sabereš sa .

Sjajno si to objasnio!

Mnogo ti hvala!!

Evo necega sto se ne moze nazvati nejednakoscu, ali je cesto veoma korisno pri dokazivanju nejednakosti:

Lagranzov metod multiplikatora

Neka su na otovorenom skupu definisane neprekidno diferencijabilne funkcije i . Ako funkcija pri uslovima ima lokalni ekstremum u tacki , tada postoje realni brojevi , takvi da funkcija u tacki ima izvod 0 po svakoj od koordinata.

Teorema opisuje neophodne uslove ekstremuma koji ne moraju biti i dovoljni, ali u zadacima nije ni potrebno vise od toga.

Primer:
Dat je trougao sa duzinama stranica . Odrediti tacku unutar tog trougla tako da je vrednost izraza minimalna, ako su rastojanja tacke redom pravih .

Posto je , ovde mozemo formirati Lagranzovu funkciju
sa jednim multiplikatorom . Izjednacavanje njenih parcijalnih izvoda sa nulom daje uslove
, sto zajedno sa uslovom daje sistem od cetiri jednacine iz kojih se odredjuje i . Posto je (gde je centar upisanog kruga), jasno nam je da je trazena tacka centar upisanog kruga u dati trougao.

Ispustio si jedan uslov iz te teoreme, a to je da matrica

ima rang jednak u tački

Interesantno, posebno zato sto to ne pise u knjizi iz koje sam izvukao ovu teoremu.

Pogledaj neku knjigu u kojoj je teorema dokazana, pa vidi šta se koristi u dokazu.

Pošto ne mogu da menjam poruke starije od 60 dana, a uočio sam grešku prilikom kucanja jedne od svojih prethodnih poruka, ispravljam je na ovaj način.

Jedna mala ispravka:

Ako je funkcija na nekom intervalu definisana onda se za nju kaže da je Jensen konveksna (ili J-konveksna) ako zadovoljava uslov na tom intervalu. Taj uslov je slabiji od uslova konveksnosti koji glasi za sve i sve Funkcije koje su J-kionveksne, ali nisu konveksne, ne mogu se konstruisati (odnosno ne može se zapisati kako izgledaju), ali se može dokazati da postoje. Drugim rečima, iz uslova J-konveksnosti se ne može izvesti uslov konveksnosti. Ukoliko pretpostaviš samo J-konveksnost funkcije na intervalu koji se sastoji od više od jedne tačke, za za koje je moći ćeš da dokažeš relaciju za sve tačno u slučaju kada su racionalni brojevi.

Da bi funkcija bila konkveksna na intervalu potrebno je i dovoljno da na njemu bude J-konveksna i da bude neprekidna u njegovoj unutrašnjosti. Takođe, sa konveksnošću funkcije na intervalu ekvivalentno je da je ta funkcija J-konveksna na njemu i da za svako postoji okolina tačke takva da je funkcija ograničena na skupu

Mislio sam da ne bi bilo lose da se i pokazu ove nejednakosti pa sam ja.... Elem, na osnovu konkavnosti logaritamske funkcije imamo
za
Kako je za osnovu rastuca funkcija, to onda vazi
Oznacicemo , tj. . Oznacimo i i tada vazi gde su (iz cinjenice da )
Tada dobijamo - Jangova nejednakost (Young). Jednakost vazi akko

Helderova nejednakost (Hölder): (za (tada je i ) dobija se Kosi-Svarzova nejednakost (Cauchy–Schwarz)).
Pokazacemo je za , za negativne se primeni .
Obelezimo i
Primenimo Jangovu nejednakost na i
(primenjujemo Jangovu nejednakost puta)

Dobijamo , odnosno Q.E.D.

Dokazujemo nejednakost Minkovskog (Minkowsky) za (za se svodi na nejednakost trougla)
(kod poslednjeg znaka nejednakosti smo iskoristili Helderovu nejednakost na oba sabirka).
Kako je , odnosno

Dobili smo , odnosno , al kako je to na kraju dobijamo sto je i trebalo pokazati Q.E.D.

<sub>Bila jedna sitna greskica, al niko nije primetio


[Ovu poruku je menjao Sonec dana 05.02.2012. u 18:17 GMT+1]</sub>

Kad već ovako sve lepo dokazujete dokažite i ovu ekvivalenciju kad važi jednakost u Helderovoj nejednakosti.

Pozdrav za mog kolegu i drugara :-)

Pa sad, ne znam koja ti je to OVA ekvivalencija kad vazi jednakost kod Holdera (i to kod kog Holdera, da li mislis na onog u L^p prostorima ili se zadoljavas sa ovim iznad).

Ali, s obzirom da u dokazu Holdera koristis Jangovu nejednakost, a da tamo jednakost vazi ako i samo ako je , to onda ne bi trebalo da ti bude problem da pokazes kad vazi jednakost kod Holdera.

Uostalom, sutra pravac biblioteka, uzmi Jocicevu knjigu i naci ces sve.

A postoji naravno i google.

Uostalom, ja sam mislio da ti napisem dokaz, al trenutno forum ima problem sa LaTeX-om, pa nisam u mogucnosti.