Upostenje:
Naci sve konacne nizove $(x_0, x_1, ..., x_n)$, tako da za svako $0 \leq i \leq n$, $x_i$ predstavlja koliko se puta broj $j$ javlja u nizu.

Resenja su:
(2, 0, 2, 0)
(1, 2, 1, 0)
(2, 1, 2, 0, 0)
(k, 2, 1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0), za $k \geq 3$.

Pozdravce

Radi jednostavnosti, koristiću ipak sledeće oznake:
, gde je broj pojavljivanja cifre u dekadnom zapisu traženog broja.
Jasno je da mora biti .

Primetimo zatim da ako je imamo da postoje barem dve različite cifre koje se pojavljuju po puta, ali cifara u zapisu ima samo , pa mora biti tj. .
Drugim rečima, za je .

Ako bi bilo , onda bi postojalo takvo da je . Međutim, ovo poslednje bi značilo da imamo, cifara , pa lako sledi da mora biti (za preostalih ne možemo staviti cifru van skupa , jer nam treba istih cifara, pa zbog sledi da je ). Sada, je lako videti da smo dobili broj koji ne zadovoljava uslove zadatka (npr. dobijamo da je a u zapisu nema ni jedna ) pa je to kontradikcija.
Dakle, mora biti

Ako bi bilo , onda bi postojalo takvo da je . Ovo poslednje implicira postojanje tačno pojavljivanja neke od cifara . Budući da je i po pretpostavci imamo da je i , sledi da moramo staviti da je nekih od cifara međusobno jednako, pa mora biti , a otuda sledi (zbog i ) da u zapisu ipak ne učestvuju samo cifre , što je kontradikcija.
Dakle, mora biti

Ako bi bilo , onda bi postojalo takvo da je . Na osnovu prethodnih zaključaka i na osnovu pretpostavke, važi i , slično kao i ranije zaključujemo da moramo uzeti da je . Međutim, šta god uzeli za , dobićemo da su cifre pozitivne, što znači da cifre nisu jedine u zapisu, a to je kontradikcija.
Dakle, mora biti

Neka je , onda postoji takvo da je . Iz prethodnih razmatranja sledi da je i . Kao i ranije, sledi da je . Ali, ne može biti tj. , jer bi zbog i morali da za preostale cifre stavimo jedinica, što je nemoguće. Dakle, mora biti tj. .
Ostaje nam da otkrijemo cifre . Iz i sledi da su među ciframa tačno tri jednake , tj. tačno dve cifre nisu nula. Kako je iz prethodnog sledi, da je za neke . Sada imamo da je za . Odatle, vidimo da mora biti , jer bi u protivnom dobili da se neka od cifara javlja ili puta (što je kontradikcija).
Sada, je lako proveriti da je i .

Dakle, dobili smo broj .

Dokažimo da je nađeni broj jedinstven.

Za sada znamo da je . Pretpostavimo zato da je .
Očigledno je da je . Međutim, videćemo ubrzo da , što će biti dovoljno za dokaz jedinstvenosti trženog broja.

Ako bi bilo , sledilo bi da postoje dva pojavljivanja cifre u zapisu, što znači da se neke dve različite cifre pojavljuju po puta u zapisu, što je kontradikcija, jer smo dobili da u zapisu učestvuju cifre i .

Ako bi bilo , sledilo bi da postoji takvo da je , kao i ranije, (zbog i ) mora biti . Sada, sledi da je , a pošto je , među sabircima je tačno jedna , onda za neke važi , pa je za . Znači, mora biti (u protivnom bi se neka od cifara javljala puta, što je kontradikcija). E sad, jedina particija broja , koja zadovoljava tražene uslove je , međutim, kako god dodelili te brojeve ciframa i , dobijamo da u zapisu učestvuju ukupno jedinice, a , što je kontradikcija.

Ako bi bilo , sledilo bi , što je u kontradikciji sa .



Bez obzira što je rešenje ovako ružno, mislim da je zadatak fantastičan, jer pokazuje kakvi se perverzni skupovi kriju u .

Uh, ovo baš nije čitljivo! Mislim da si hteo da kažeš sledeće:

Naći sve konačne nizove , tako da za svako , predstavlja koliko se puta broj javlja u nizu.

Rešenja su:
(2,0,2,0)
(1,2,1,0)
(2,1,2,0,0)
(k,2,1,0,0,...,0,1,0,0,0), za .

Neka je trazeni broj. Ocigledno je . Oznacimo sa broj pozitivnih brojeva medju . Tada je

.

Kako je na levoj strani pozitivnih sabiraka ciji je zbir , jedan od njih jednak je 2, dok su preostalih jednaki 1. Iz toga sledi da jedino moze biti . Takodje, ako je za neko , tada je . Takvih je samo jedno i pritom je .

Iz navedenog sledi da je . Nije tesko ustanoviti da su slucajevi i nemoguci. Ostaje .

Neka je , . Tada je . Jedine preostale nenula cifre su i . Mogucnost otpada, jer je vec i .
Trazeni broj ima oblik . S obzirom da je desetocifren, sledi i broj je 6210001000.

<sub>Bojan Bašić: popravljen [tex] tag

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 29.10.2005. u 13:04 GMT+1]</sub>