Za tetraedar tvrđenje zaista važi:
Neka je proizvoljan tetraedar, onda je:
.

Tvrđenje će važiti i za svaki poliedar koji se može dobiti uzastopnim "lepljenjem" tetraedara po nekim njihovim podudarnim stranama, jer su vektori pridruženi tim stranama istog intenziteta, kolinearni, ali suprotnog smera.

E sad, izgleda da se ne može svaki poliedar razbiti na tetraedre:
In 1900, Dehn proved that not every prism can be dissected into a tetrahedron (Lenhard 1962, Ball and Coxeter 1987).

Dakle, moguće je da je postavka pomalo neprecizna... ili je ovaj metod ograničenog dometa (što je i verovatnije )...

Anyway, it's the end of the road for me

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 03.12.2005. u 22:21 GMT+1]}

U stvari,malo sam požurio
Mislim da ovaj metod lepljenja ima malih problema.
Davno sam čitao u nekoj Klarkovoj knjizi, navodno istinit slučaj sa nekog testa inteligencije gde se postavlja pitanje: koliko će imati strana telo koje nastaje lepljenjem po podudarnoj strani, pravilnog tetraedra i pravilne četvorostrane piramide...

Dakle, obrazloženje koje sam dao u slučaju lepljenja, nije kompletno... ali je metod ipak korektan

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 03.12.2005. u 22:39 GMT+1]}

Postavka je korektna, a zaista mi se čini da je metod ograničenog dometa. U svakom slučaju, i jedan deo je više od ničega.

Nisam siguran šta ovim hoćeš da kažeš. Svakako da tvoj dokaz korektno rešava problem ukoliko razmatramo samo one poliedre koji se mogu dobiti lepljenjem tetraedara.

Ako označimo sa i brojeve strana poliedara i , onda poliedar dobijen njihovim lepljenjem po podudarnoj strani ne mora imati strana

Slažem se, ali ne vidim kakve to ima veze.

Ukoliko bi se svaki poliedar mogao razložiti na tetraedre onda bi tvoj dokaz bio kompletan. Međutim, to nije tačno i ispostavlja se da si rešio samo specijalan slučaj. Gde se tu pominje broj strana?

E, onda se valjda razumemo
Ja sam samo napisao da nisam obrazložio sve detalje u slučaju da se posle lepljenja desi da neke 2 strane polaznih poliedara postanu jedna strana (npr. spoje se po jednoj ivici, a leže u istoj ravni). U slučaju kada se to ne desi ja sam imao na umu da se dešava sledeće:

Neka su postojećem poliedru pridruženi vektori a tetraedru koga dodajemo, vektori . Neka se lepljenje događa na stranama kojima su pridruženi vektori i . Vektori su označeni tako da bude: i . Dakle, važi: . Pa, će dobijeni poliedar imati pridružene vektore: .
Pa iz i sledi tvrđenje, i tu zaista mislim da je sve korektno.

A ako se desi onaj slučaj, trebalo je da pojasnim da će 2 pridružena vektora u zbiru dati baš vektor pridružen novonastaloj strani (kolinearni su, a površina je aditivna...)

Onima koji su odmah imali u vidu i ovaj poslednji slučaj, se izvinjavam ako sam nepotrebno davio sa detaljima (ja sam naprosto to prevideo u prvi mah).

Aha, sad shvatam. Nisam odmah razumeo da želiš to da naglasiš jer mi se činilo da je to jasno, ali sad su dileme u svakom slučaju razjašnjene.

Ma nema potrebe da se izvinjavaš, bolje je napisati koji detalj više nego manje, ja jednostavno nisam odmah razumeo da želiš da na to skreneš pažnju i to je sve.

Hmmm... Ja ću malo da "kreiram", a onda neka neko to sroči strogo i/ili sažeto.

Ako zamisliš da je poliedar sačinjen samo od letvica, sa šupljim stranama, i ako ga postaviš na neku ravan, pa ga pod bilo kakvim uglom osvetliš paralelnim snopom svetlosti, koji uvek možeš opisati nekim jediničnim vektorom , usmerenim od izvora ka poliedru - uz uslov da taj snop ne sme biti paralelan s projekcionom ravni - onda ćeš kao projekciju na toj ravni dobiti neki poligon, sačinjen od projekcija pojedinih strana poliedra. Pošto je ugao između vektora i vektora površine određene strane poliedra jednak uglu između te strane poliedra i projekcione ravni, površina projekcije strane dobiće se kao . Odatle sledi da ćemo, ako sumiramo te skalarne proizvode po "osvetljenim" stranama poliedra (dakle, po onima čiji vektori površine zaklapaju najmanje prav ugao s vektorom ), a zatim skalarne proizvode po "osenčenim" stranama poliedra (dakle, po onima čiji vektori površine zaklapaju najviše prav ugao s vektorom ), dobiti dva iznosa različitog znaka (zbog znaka funkcije ) ali iste apsolutne vrednosti, koja je jednaka površini projekcije poliedra na ravan. Stoga je po CELOM poliedru jednaka nuli, a kako je , sledi da je .

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 20.12.2005. u 18:09 GMT+1]}

Svaka čast!

To nije ono što sam ja imao u vidu, ali i ovo rešenje mi se zaista sviđa.

Evo totalno drugačijeg, fizičkog pristupa.

Zamislimo da je poliedar iznutra šupalj (kao, recimo, fudbalska lopta) i upumpajmo vazduh u njega. U stanju ravnoteže vektori koji su opisani su upravo sile pritiska vazduha na strane, i njihova rezultanta je očigledno nula jer se radi o stanju ravnoteže.

Odlično!

A elektroinženjeri bi rekli "fluks vektora jačine svakog homogenog polja kroz bilo kakvu zatvorenu površ jednak je nuli" (na šta se praktično svodi moj dokaz) i prešli na sledeći zadatak :)

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 19.12.2005. u 16:34 GMT+1]}

Dokaz (u hidrostatici) da je pritisak u tekućini skalar,a ne vektor je gotovo onakav
kako je uradio Farenhajt
A ovo \cdot;\dot;\cdots....Klikni na formulu pa vidi kako je napisano!




<sub>[Ovu poruku je menjao zzzz dana 1.1.2006. u 01:05 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao zzzz dana 20.12.2005. u 01:07 GMT+1]</sub>

Hvala na pomoći, zzzz! :))

Editovao sam svoju poruku.

A moram da ispravim i grešku koju niko nije zapazio - ali koja neće uticati na tačnost dokaza: Naime, ugao između vektora površine i jediničnog vektora biće jednak uglu između strane poliedra i projekcione ravni samo ako je vektor normalan na projekcionu ravan. Uz, dakle, ograničenje da snop svetlosti mora biti normalan na projekcionu ravan, dokaz ostaje isti.

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 20.12.2005. u 04:57 GMT+1]}

Slažem se, ali verujem da velik broj ljudi zna za tu činjenicu ali ne zna dokaz, i stoga smatram da je OK pozvati se na to ne zadirući mnogo u pozadinu svega.

I mora se dodati još jedna napomena (koju će neki možda okarakterisati i kao cepidlačenje ili preteranu strogost): Iz činjenice da je ne može se pravolinijski zaključiti da je , već samo da je ta suma normalna na . Međutim, kako se bira proizvoljno, sledi da je normalna na svaki proizvoljno odabran vektor. E, sada možemo tvrditi da je .