Najpre navodim jednu teoremu [1].

Teorema:

Neka je , gde je monotono rastući niz prirodnih brojeva, a su nenula racionalni brojevi. Neka je najmanji zajednički imenilac brojeva . Pretpostavimo da važi za sve dovoljno velike , gde su realni brojevi koji zadovoljavaju za neku konstantu . Pretpostavimo dalje da je , . Tada je transcendentan za sve cele brojeve i koji zadovoljavaju , gde je dat pozitivan broj za koji važi .

Najpre ćemo odabrati vrednosti tako da možemo primeniti Teoremu u situaciji koju imamo. Neka je:



Možemo uzeti , pa ispunjava traženi uslov i zaista važi za dovoljno veliko (štaviše, važi za sve ). Kako pri ovako odabranim vrednostima važi , sledi da je , pa je ispunjeno i . Dakle, možemo formulisati posledicu koja delimično odgovara na pitanje broj 3.

Posledica:

Neka je monotono rastući niz prirodnih brojeva za koji važi . Tada je broj transcendentan.

Primetimo da iz Posledice trivijalno sledi da je odgovor na pitanje broj 2 potvrdan, s obzirom na to što je , gde je zlatni presek.

Nažalost, ovaj pristup nam neće mnogo pomoći za pitanje broj 1 jer je malo verovatno da je budući da bi to oborilo mnoge hipoteze za koje se veruje da su tačne, kao što je na primer čuvena Twin Prime Conjecture.

[1] Zhu,Yao Chen & Ren, Jian Hua, The transcendence of the values of certain gap series at rational points, J. Northwest Univ. 12 (1982), no. 4, 1–8.

---

Potpuno sam svestan da ovo nije odgovor kakav bi iko želeo da vidi. S druge strane, tema stoji već duže vreme bez ikakvog napretka pa smatram da je makar i ova priča bolja od ćutanja.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 09.06.2006. u 14:25 GMT+1]}

Ne samo da je malo verovatno nego se moze dokazati da vazi
.

Neka je . Trazimo inverznu funkciju ovoj funkciji. Primetimo da je, dalje, , a posto vazi onda imamo . Iz toga sledi da je . Primenimo ovo na poznatu asimptotsku relaciju . Posto je (ti prost broj) funkcija inverzna funkciji , vazi . Sada se lako dobija da je .

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 09.04.2006. u 20:18 GMT+1]}

Potvrdan odgovor na 3, a samim tim i na 1 sledi iz sledećeg iskaza:



Ovaj iskaz nije dokazan. Predstavlja hipotezu koja je najverovatnije tačna. Pomenuti zadaci iz prve poruke za sada nisu rešeni (ne samo na ovom forumu, nego uopšte u matematici).

Navodim definicije:

A) Za kompleksan broj kažemo da je algebarski ako postoji barem jedan polinom takav da su svi od brojeva celi (odnosno racionalni) brojevi, od koji je barem jedan različit od nule i pri čemu je . U suprotnom se za kompleksan broj kaže da je transcedentan.

B) Neka je realan broj takav d aje i neka je ceo broj. Tada postoji tačno jedan beskonačan niz celih brojeva za koji važi i i pri čemu nisu svi elementi niza počev od nekog jednaki . Tada za niz kažemo da je decimalni razvoj broja u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom .

C) Za realan broj se kaže da je normalan ako za svaki ceo broj važi sledeće:

Neka je jedinstveni ceo broj za koji važi i neka je decimalni razvoj u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom . Tada za svaki ceo broj takav da je važi da mu relativna frekvencija pojavljivanja teži ka . Drugim rečima, ako je broj pojavljivanja broja u nizu (dakle, na prvih mesta), onda je .


Ako iracionalan realan broj u svom decimalnom razvoju sadrži samo cifre 0 i 1, onda on nije normalan jer je frekvencija pojavljivanja cifre 2 jednaka nuli, pa prema navedenoj hipotezi ne može biti algebarski, odnosno transcedentan je.

Imaš neku referencu zašto smatraš da je zadatak 2 otvoren problem? Jer po onome što sam napisao u svom prvom odgovoru (pre malo više od 17 godina ) ispada da se za zadatak 2 može reći da dosad razvijena matematika daje potvrdan odgovor.

Da, taj jeste rešen. Mislio sam na preostale.

BTW, LaTeX sa ovog foruma ne podržava komande \leqslant i \geqslant, nego se moraju koristiti \leq i \geq, pa u vezi s tim ispravljam greške koje su se potkrale u formulama.

Potvrdan odgovor na 3, a samim tim i na 1 sledi iz sledećeg iskaza:



Ovaj iskaz nije dokazan. Predstavlja hipotezu koja je najverovatnije tačna. Pomenuti zadaci iz prve poruke za sada nisu rešeni (ne samo na ovom forumu, nego uopšte u matematici).

Navodim definicije:

A) Za kompleksan broj kažemo da je algebarski ako postoji barem jedan polinom takav da su svi od brojeva celi (odnosno racionalni) brojevi, od koji je barem jedan različit od nule i pri čemu je . U suprotnom se za kompleksan broj kaže da je transcedentan.

B) Neka je realan broj takav d aje i neka je ceo broj. Tada postoji tačno jedan beskonačan niz celih brojeva za koji važi i i pri čemu nisu svi elementi niza počev od nekog jednaki . Tada za niz kažemo da je decimalni razvoj broja u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom .

C) Za realan broj se kaže da je normalan ako za svaki ceo broj važi sledeće:

Neka je jedinstveni ceo broj za koji važi i neka je decimalni razvoj u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom . Tada za svaki ceo broj takav da je važi da mu relativna frekvencija pojavljivanja teži ka . Drugim rečima, ako je broj pojavljivanja broja u nizu (dakle, na prvih mesta), onda je .


Ako iracionalan realan broj u svom decimalnom razvoju sadrži samo cifre 0 i 1, onda on nije normalan jer je frekvencija pojavljivanja cifre 2 jednaka nuli, pa prema navedenoj hipotezi ne može biti algebarski, odnosno transcedentan je.