[ qzqzqz @ 24.12.2005. 16:38 ] @
Evo zadataka sa internog takmicenja u Mg koje je odrzano danas. Zadaci su se radili 4h


1.razred

1.Koliko ima desetocifrenih brojeva ciji je zbir cifara 3?

2.Dokazati da postoji prirodan broj takav da se u zapisu broja nalazi 2005 uzastopnih nula?

3.U svako polje tabele 2005 puta 2005 upisan je jedan od brojeva +1 ili -1. Za svaku vrstu i svaku kolonu sracunat je proizvod svih brojeva u njoj. Moze li zbir tako dobijenih 4010 proizvoda biti jednak 0?

4.Ako su i prirodni brojevi veci od 1 takvi da je

dokazati da je slozen broj.

5. Na stranicama AC i BC trougla ABC izabrane su tacke M i N, takve da je AM=BN. Dokazati da je prava koja prolazi kroz sredista duzi AN i BM normalna na simetralu ugla ACB.




Ko voli da resava neka napise svoje ideje. Inace zzadaci su po meni pre za 7. razred OS nego za prvi.
[ Farenhajt @ 25.12.2005. 06:08 ] @
1. Moguća su četiri slučaja:

a) Prva cifra je 1, dve od preostalih 9 su takođe 1, ostalo su 0. Takvih ima =36;
b) Prva cifra je 1, jedna od preostalih 9 je 2, ostalo su 0. Takvih ima 9;
c) Prva cifra je 2, jedna od preostalih 9 je 1, ostalo su 0. Takvih ima 9;
d) Prva cifra je 3, ostalo su 0. Takav postoji 1.

Ukupno 36+9+9+1=55.

3. Označimo proizvode po vrstama sa , a proizvode po kolonama sa . Pretpostavimo da je . Tada tačno 2005 od tih 4010 sabiraka mora biti jednako 1, a preostalih 2005 mora biti jednako -1. Označimo sa broj negativnih -brojeva, a sa broj negativnih -brojeva. Prema prethodno rečenom, .

Ako izmnožimo sve -brojeve, dobićemo proizvod svih brojeva u tabeli, a taj proizvod očito iznosi . Slično, ako izmnožimo sve -brojeve, opet dobijamo proizvod svih brojeva u tabeli, a u tom slučaju taj proizvod iznosi .

Međutim, brojevi i ne mogu biti jednaki, jer je njihov proizvod . Kontradikcija.

4. Pošto , sledi da . Stoga . Kada bi broj bio prost, moralo bi da važi To je, međutim, nemoguće jer je (pošto , a ) i (pošto , a ).

5. Neka je AM=BN=d, neka su uglovi trougla , neka je F središte stranice AB, neka je CK visina trougla ABC, neka simetrala ugla ACB seče pravu PQ u tački R i neka prava PQ, ukoliko nije paralelna pravoj AB, seče ovu u tački T (pri označavanju će se podrazumevati da je A između T i B). Tada je FQ srednja linija trougla ABM, pa je FQ=AM/2=d/2, a FP je srednja linija trougla ABN, pa je FP=BN/2=d/2. Dakle, trougao FPQ je jednakokrak. Pošto je QFB=CAB= i PFA=CBA=, sledi da je PFQ=, pa je QPF=. Pošto je to istovremeno spoljašnji ugao trougla PTF, sledi da je PTF=QPF-PFT=. S druge strane, ACK=, a ACR=, pa je KCR=ACR-ACK=. Sledi da su uglovi PTF i KCR jednaki, pa pošto su im kraci CK i AB uzajamno normalni, takvi moraju biti i kraci CR i PQ.

Ako tačka T ne postoji, tj. ako je prava PQ paralelna pravoj AB, sledi da je QPF=PFA, tj. odn. . Dakle, trougao ABC je jednakokrak s temenom u C, pa mu je visina na osnovicu istovremeno i simetrala temenog ugla, te je u tom slučaju simetrala ugla ACB normalna na pravu PQ jer je normalna i na pravu AB.

[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 25.12.2005. u 09:15 GMT+1]