http://lavica.fesb.hr/~slap/


msever.fizika.org/predavanja/LA2%20-%20skripta.pdf


Jel zna neko za neku kvalitetnu zbirku sa resenim zadacima i objasnjenjima iz ove oblasti?

Pozdrav,

Da ne bih otvarao novu temu, jer verujem da je pitanje prosto, naime interesuje me šta su sopstveni vekotri matrice, oderedio sam karakeristični polinom neke zadate matrice i iz tog polinoma se vide sopstvene vrednosti iste, e sada me zanima kako odrediti sopsvene vektore?

zameni jednu sopstvenu vrednost u sistem (A-lamda*I)*(x,y,z)^T=(0,0,0)^T tako sto prakticno koeficijentima na glavnoj dijagonali oduzmes tu sopstvenu vrednost i kazes =0. takav sistem mora da ima beskonacno mnogo resenja sa jednim ili vise parametara alfa, beta ... Ako ima na primer parametarsko resenje (alfa,2*alfa,3*alfa) uzmi alfa=bilo_koji_broj_sem_0=naprimer 1.

onda je sopstveni vektor (1,2,3).

Ako dobijes beskonacno omnogo resenja sa 2 slova alfa i beta dobices i dva sopstvena vektora tako sto jedan vektor dobijas za na primer alfa=1 i beta=0 a drugi sopstveni vektor za alfa=0 a beta=1.

moras tako zameniti sve sopstvene vrednosti i na opisan nacin podobijati sve sopstvene vektore

Zahvaljujem na iscrpnom odgovoru!

Jel moze pomoc oko dokaza teoreme...

Da preformulisem pitanje:
Neka su i dva sistema vektora vektorskog prostora . Ako je i linearno nezavisan, onda je . (gde je sa obelezen skup svih linearnih kombinacija vektora iz (iliti, linearni omotac skupa )

Dokaz: Indukcijom po . Neka je , tada je i . Pretpostvimo da je i posmatrajmo sistem . Tada je i znamo da je linearno nezavisan sistem, pa je , pa je i , sto je kontradikcija jer u linearno nezavisnom sistemu ne moze da bude nula vektora.

Pretpostavimo da je tvrdjenje tacno za sve pocetne sisteme sa manje od vektora i neka je . Tada znamo da vazi:



.....
,

odnosno



Dakle, .

to sledi da za neko vazi

Posmatrajmo sistem:



.....


Pomnozimo prvu jednacinu sa i dodajmo drugoj, ponovimo postupak za preostale jednacine (u poslednjem koraku cemo pomnoziti prvu jednacinu sa i dodati je poslednjoj jednacini)

Dobijamo nov sistem:


...


Primetimo da se nigde ne pojavljuje .

Kako je linearno nezavisan, to je i sistem linearno nezavisan.

Takodje, , pa je i , te mozemo primeniti induktivnu hipotezi, pa vazi , odnosno

Postoji lema o zameni iz koje ovo sledi i to ne samo u konačnom slučaju.

Pretpostavimo da su sistemi oblika i , pri čemu može biti i . Ako je , onda tvrđenje neposredno sledi jer je . Pretpostavimo zato da je .

(1) .

Obzirom da je sistem linearno nezavisan, vektor je različit od nule. Stoga postoji neko takvo da je . Razmotrimo sistem

.

Na osnovu izbora vektora svaki element sistema pripada linearnom omotaču sistema .

Takođe, sistem je linearno nezavisan. U protivnom važi

,

pri čemu bar jedan od skalara nije nula. Zbog linearne nezavisnosti sistema mora biti , pa je

,

za neke skalare . Međutim, na osnovu (1) je

,

odnosno vektor je linearna kombinacija preostalih vektora sistema , što ej u suprotnosti sa njegovom linearnom nezavisnošću.

Neka je sistem koji se dobija od sistema zamenom vektora na mestu sa . On ima isti lineani omotač kao . Zaista, vektor je linearna kombinacija vektora sistema , a vektor je linearna kombinacija vektora sistema na osnovu izbora vektora i .

Neka je sistem koji se dobija zamenom vektora na mestima i u sistemu . On ima isti linearni omotač kao i sistem pa samim tim i .

Međutim, sistemi i imaju prvih elemanata zajedničkih. Produžavajući ovaj postupak dolazimo do slučaja , koji je rešen.

Nisam siguran, ali zar nije ? Prva nejednakost je posledica toga da je generator set (valjda se tako zove, zaboravio sam) uvek ima elemanata bar koliko i baza VP. Druga je posledica toga sto se svaki moze izraziti preko linearne kombinacije pa znaci da generise VP koji je nadprostor od onog koji generise . I na kraju, posto je skup linearno nezavisnih vektora, on je manji ili jednak bazi prostora .

Sve je to tačno, ali se pozivaš na pojam dimenzije koji se uvodi kao broj elemenata baze, a na osnovu teoreme da sve baze imaju isti broj elemenata. Ovde se radi o dokazu tvrđenja na osnovu koga se dokazuje da sve baze imaju isti broj elemenata.