Ne trebaju mi kontakt telefoni, pretpostavljam da nisi tih nekoliko dana samo gledala u postavku već si verovatno nešto i skicirala sebi, pokušavala razne pristupe pa nisi uspela. Dovoljno je da napišeš samo 2-3 rečenice od toga pa makar ideja bila i potpuno pogrešna, poenta je da pokažeš da si se potrudila.

Slažem se da ovaj tvoj jedan zadatak neće mnogo da šteti kvalitetu foruma, ali zar ne misliš da je u redu da imam jednake kriterijume prema svima? U suprotnom, ako bih tebi ostavio zadatak onda bi se neko bunio kad njemu obrišem i pitao kako to da sam tebi ostavio a njemu nisam, pa bih morao da ostavim i onom trećem, ukratko rečeno svima. Šta bismo dobili na kraju? Ovaj forum bi bio preplavljem lenjivcima (u potpunosti stojim iza ove reči) koji dođu iz škole, otvore svesku, prepišu domaći od reči do reči, nakon nekoliko sati se nakače i prepišu to što su dobili na tacni nazad u svesku, sutra pokažu profesoru kako oni to znaju da urade, i tako stalno. Ja to ovde neću da dozvolim, a (kad već pominješ pravila) sve što pričam postoji i sažeto ovde:


Nadam se da smo se ovoga puta bolje razumeli.

Cao, devojcice!

Polja i zadovoljavaju dati uslov. Naime:

(1) i su neizomorfni:
Ako pps (pretpostavimo suprotno) da

tada , i , za , pa

Iz linearne nezavisnosti i nad sledi da je ili . Nijedan od ova dva slucaja nije moguc. Kontradikcija. Data polja su zaista neizomorfna.

(2) :
Sa , definisano sa
, je dat trazeni izomorfizam.

(3) :
Pokazuje se da je i
, pa su izomorfne. Ovo sledi iz toga da su prsteni i domeni sa jedinstvenom faktorizacijom, i vise, sve njihove jednote (invertibilni elementi) su oblika , odnosno , pa je svaki element
, gde i
je niz medjusobno nekonjugovanih prostih brojeva, kojih ima beskonacno mnogo. Slicno vazi i za multiplikativnu grupu drugog polja.

Kako si to dobio?

U redu je da je
i , ali zasto je i grupa koja sadrzi sve elemente oblika izomorfna sa Z[x]?

Sta su uopste konjugovani prosti brojevi? p i -p ?

A evo i obrisanog zadatka:

Neka je K polje, f(x) i g(x) nerastavljivi separabilni polinomi nad K[x] stepena n, i i redom koreni od f(x) i g(x) u . Uocimo determinante (Vandermondova determinanta reda n) i , koje nastaju iz D zamenom k-te vrste sa .
Dokazati da je , za sve ako i samo ako je za sve .

I ovaj je uspesno resen, postovacu i resenje ako ikoga zanima.

Mene zanima. Postuj ako te ne mrzi

<= :
Postavimo u sistem jednacina:

Matrica sistema je Van der Mondova, a matrice promenljivih su , pa su resenja
Imamo da je svako , pa je svako polinom po
=> za svako k
=> za svako k

E sad, f(x) je nerastavljiv nad K,
=> f je minimalni polinom za
=> Stepen rasirenja je n
Isto tako, g je minimalni polinom za , pa je i stepen rasirenja isto n.
Oba rasirenja su istog stepena, jedno je podskup drugog => jednaka su

=>:
Sada hocu nekako da napravim isti sistem, pazeci da mi koeficienti budu iz K.

Imam da je , rasirenja su stepena n
=> moze da se predstavi kao polinom po stepena n-1 nad poljem K. Neka je
,


, rasirenja su stepena n
=> je polinom po stepena n-1, samo jos ne znam da li je bas u pitanju isti polinom .
Tj. hocu da pokazem da mi je i

Koristimo Kronekerovu teoremu o ekstenziji:
i su nule istog polinoma nad K
=> Postoji izomorfizam izmedju i koji slika u



Pri tome, i nula polinoma g mora da se slika u nulu polinoma g (izvor: kolega Slavko :) ), pa je onda i za neko k. Mislim da sada mozemo samo da preimenujemo i , pa je

Ovim preimenovanjem mi se cuva osobina za svako k, i mislim da je to jedino vazno.

Analogno za svako k
=> Imamo sistem:


za svako k => za svako k

@Slavko

Hajde objasni zasto se nula polinoma g slika u nulu polinoma g?

Puno pitanja!

Ali evo. Najpre definicija nesvodljivog elementa je, ako je a=bc, tada b jednota, ili c jednota. Dakle u resenju mozemo uociti relaciju ekvivalencije a~b ako i samo ako a=ub, gde je u jednota. Tada kazemo da su ai b medjusobno konjugovani.

Zasto je ono izomorfno prstenu Z[x]. (Izvinjavam se sto ovako pisem, ali me trenutno mrzi da se zezam sa texom). Pa ako proste(koji nisu medjusobno konjugovani) poredjamo u niz p0, p1,..., pn,... , tada sa fi (cini mi se da je bilo fi) element pi slikamo u x^i, a pi^a u ax^i. U Z[x] imamo samo konacne kombinacije, kao sto se svaki element moze predstaviti kao konacni proizvod stepena prostih(da li sam dobro rekao).

Trece pitanje. Ako je g(a)=0, i f izomorfizam, tada kada na g(a)=0 delujemo sa f, imamo f(g(a))=f(0)=0. f je izomorfizam koji se poklapa sa identickim preslikavanjem na polju iz koga su koeficijenti polinoma g, pa ulazi pod polinom, tj. 0=g(f(a)). Odavde je jasno da je f(a) nula polinoma g.

Jos jednom se izvinjavam zbog opisnih objasnjenja, ali stvarno me mrzi da pisem u texu.

Pozdrav Milici i Marijani (devojcici).