[ nikmil @ 15.05.2006. 13:45 ] @
| Na republičkom takmičenju CG (12. maj, Nikšić) bio je sledeći zadatak: - Dokazati da se u krug poluprečnika 1 može smestiti 2*2006 krugova, tako da nijedan krug nema zajedničku unutrašnju tačku sa ostalim krugovima, a da im je zbir poluprečnika jednak 2006. Ovaj zadatak ima dva SUPROTNA rešenja, jedno kojim se dokazuje tvrđenje, a jedno kojim se to tvrđenje obara. Oba rešenja izgledaju logično i tačno, ali sigurno je da ne mogu biti oba tačna, pa vas molim za pomoć da nađemo koje je pogrešno. Evo kako idu rešenja 1: U krug poluprečnika 1 može se upisati kvadrat stranice  , pa samim tim i kvadrat stranice  . Ako taj kvadrat izdjelimo na  kvadrata, stranica  i u njih upišemo krugove, poluprečnici tih krugova će biti  . Ako uzmemo da je zbir poluprečnika, prema uslovu iz zadatka, jednak 2006, dobijamo: , tj. , iz čega sledi da se može smestiti 2006*2 krugova da im je suma poluprečnika 2006.Ovo je, inače, bilo zvanično rešenje komisije. 2: Ako uzmemo da postoje ti krugovi i označimo ih sa  , a prvi (dati) krug sa  onda je: .Da bi manji krugovi bili smesteni u veći, dati krug, mora da je zadovoljeno:    .Koristeci nejednakost kvadratne i aritmeticke sredine dobijamo:  , tj. , sto je u kontradikciji sa , pa krugovi ne mogu postojati.Ovo je bilo moje resenje zadatka, na koje sam dobio max. 25 poena, ali bih da resim dilemu koje je resenje ispravno. |