[ useer @ 08.07.2006. 14:43 ] @
ovaj zadatak je valjda bio neki predlog za IMO 1997,ali ja nigde na netu nisam nasao resenje..
A i zadatak mi deluje lep,pa ako neko ima vremena neka ga uradi i pokaze ovde
Zadatak glasi:
Neka su A,B i C tri nekolinearne tacke.Dokazati da postoji tacno jedna tacka X u ravni ABC tako da vazi:
AB^2+AX^2+BX^2=BC^2+BX^2+CX^2=AC^2+AX^2+CX^2
[ Bojan Basic @ 08.07.2006. 15:15 ] @
Uočimo trougao takav da su središta njegovih stranica , redom. Dokazaćemo da je tačka ortocentar ovog trougla. Zaista, primetimo da implicira . Neka je podnožje normale iz na tačka . Tada je , pa je konstanta. Zaključujemo da se nalazi na fiksnoj normali na . Zajedno sa činjenicom da je i iz koje sledi da je , imamo da ova naša fiksna normala prolazi kroz . Na sličan način leži na normali na u , čime je zadatak rešen.
[ useer @ 08.07.2006. 16:20 ] @
hvala...
meni se ideja za resenje prilicno svidja