Svi junaci nikom ponikoše...

Nikako ne uspevam da nateram da mi prikaže \rightrightarrows - tako da (privremeno) odustajem -koristiću \overrightarrow{\to}

I) Pošto zadatak ne bi imao smisla ukoliko dati integral ne konvergira - pozabavimo se prvo time.

Neka je , .

Vidimo da je:




pa je singularitet samo u tački . Takođe, smatraćemo da je .

Neka je zato i neka je .

Pokazaćemo da je ovaj limes uvek konačan.

Dakle, dokažimo da ravnomerno konvergira po kad tj. da .
Upotrebićemo Vajerštrasov kriterijum i pri tom, budući da na konvergenciju utiče samo ponašanje podintegralne f-je u nekoj okolini singulariteta - posmatraćemo f-ju na intervalu za neko fiksirano .


Za svako i svako važi:

za neko .

To je posledica neprekidnosti (pa samim tim i ograničenosti) f-je na kompaktnom skupu (pa time i na ) a upotrebljeno je i što je posledica važenja relacije na .

Parcijalnom integracijom dobijamo čime je dokazano .

U narednim tačkama koristiću neke osnovne teoreme - da ih ne bi prekucavao, pozivaću se na njihovu numereciju u drugom izdanju knjige Matematička analiza 2, D. Adnađević, Z. Kadelburg.

1. Treba ispitati neprekidnost f-je . Možemo da upotrebimo neprekidnost f-je na pa rezultat direktno sledi na osnovu teoreme 7.3.2.

A možemo i da se malo pomučimo (ipak je to zadatak sa ispita ) i upotrebimo teoremu 7.3.1 jer imamo da int. ravnomerno konvergira a i za svako na za svako . Evo odakle to sledi:

Neka je dato.
F-ja je neprekidna (pa i ograničena nekim ) na .

- ovo poslednje sledi iz ograničenosti neprekidne f-je na .

Sada je jasno da postoji tako da iz sledi , pa najzad imamo za svako što tačno znači da pa iz teoreme 7.3.1 sledi .

2. Ovde bi mogli da upotrebimo teoremu 7.3.3 (dovoljni uslovi za upotrebu Lajbnicovog pravila na nesvojstvene parametarske integrale), ako pokažemo da važe svi potrebni uslovi.

i) f-ja je neprekidna na .

ii) Za svako integral ravnomerno konvergira na . To sledi na osnovu Vajerštrasovog kriterijuma:

za svako i svako važi

za neko - to sledi iz ograničenosti f-je na (gledano kao f-ja po ). Ravnomerna konv. sledi zbog konvergencije integrala .

iii) (ravnomerno) konvergira na

time su provereni svi uslovi pa na osnovu teoreme 7.3.3 sledi tvrđenje pod 2.

3. Sada moramo da izračunamo - jer bi nam to moglo pomoći u pronalaženju .

U integralu uvodimo smenu .



integral postaje



Dakle, imamo da je a odatle odmah dobijamo .
Na osnovu definicije f-je vidimo da je .

Budući da sam ovo ukucavao/proveravao direktno u polju za upis odgovora - valjda ne moram da objašnjavam koliko sam se napatio

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 24.08.2006. u 02:17 GMT+1]}

Pre svega, puno Ti hvala na odgovoru. Trenutno ga razmatram, pa ću u slučaju nekih nedoumica pisati šta mi nije jasno. I ja sam imao problema sa -om na ES-u, izgleda da je to neka čudna verzija (običnog, ne „La“) TeH-a. Meni, npr. prikazuje kod:

kao: .

Još jednom, hvala.

Šta mi nije jasno:

1) Zašto je ? Primenom Lopitalovog pravila, ja dobijam:


Što je za fiksirano konačan broj manji od nule.

Još nešto: koliko sam ja shvatio, mi definišemo novu funkciju
koja je neprekidna, a ne posmatramo više
staru funkciju ? Onda je u redu ako napišem
?

2) Što se tiče parcijalnog izvoda funkcije po , izgleda da sam pogrešio u računu, jer sam dobio umesto ispravnog . Integral od onog pogrešnog izvoda, naravno, divergira, a za ovaj tačni izvod Matematika daje:


što u prevodu na matematički jezik, i sa izvesnim skraćenjima, znači:


3) I, naravno, ostaje drugi zadatak, za koji u rešenju iz Rokova piše da integral ravnomerno konvergira za , a ja dobijam za da je . Pretpostavljam da je potrebno primeniti sličan postupak kao u prvom zadatku, tj. da treba posmatrati parametarski integral na nekom intervalu , gde je ? Ili ?

Inače, ako nekoga interesuje što se uopšte bakćem sa parametarskim integralima, odgovor je da poena nikada nije previše — naročito ako se uzme u obzir zakidanje na sitnicama i usmeni.


<sub>[Ovu poruku je menjao Cabo dana 24.08.2006. u 13:54 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao Cabo dana 24.08.2006. u 14:00 GMT+1]</sub>

Budući da dovoljno je da pronađemo - a primenom Lopitalovog (istoričari kažu u stvari Bernulijevog ) pravila dobijamo:



Naravno, mogli smo da primenimo isto pravilo i na celu f-ju onda bismo dobili:



Pošto f-ja nije ni bila definisana u tačkama imam pravo da je definišem u njima kako god poželim, pa u konkretnom slučaju mogu baš i tako da postane neprekidna na (gledano kao f-ja po ). Dakle, čak i formalno nisam u obavezi da uvodim novu oznaku za f-ju.

Ako su singulariteti i u i u podrazumeva se da je po definiciji pri čemu je pretpostavljena integrabilnost na svakom , . S tim u vezi, jasno je da je eventualna definisanost podintegralne f-je u tačkama i potpuno irelevantna (bitno je samo njeno ponašanje u nekim okolinama tih tačaka).

Pretpostavljam da si hteo da napišeš (barem Mathematica jeste ):



što bi bilo u skladu sa uslovima iz druge tačke tj. .


Što se tiče poslednjeg pitanja - integral bi se posmatrao kao zbir graničnih vrednosti dva integrala sa konačnim (ne-nula) granicama a primitivna f-ja bi bila asimptotski ekviv. sa - tako da je sve u redu

Bernulijevog pravila? Gde mogu naci nesto vise o tome?

Izgleda da bi trebalo da malo više pazim pri diferenciranju. :-/ I kod ovog limesa je opet u pitanju greška u računu. Što se tiče onog , koliko shvatam, to bi trebalo da sledi iz , zar ne? U tom slučaju Matematika greši.

U pravu si - Mathematica je izbacila upravo ono što si ti napisao (izvinjavam se ) - i očigledno je pogrešila, jer zbog postojanja mora biti tj. . Mada, ako pratimo sve korake do sad - mi smo oduvek znali da je - a to smo i iskoristili prilikom računanja ...

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 24.08.2006. u 18:47 GMT+1]}