Neka je vrh piramide i neka je:














Ako je podnožje visine piramide iz temena , onda definišemo . Označimo i

Jasno je da postoje jedinstveni za koje važi . Nakon skalarnog množenja poslednje jednakosti sa , odnosno sa dobijamo sistem:




pa zatim i rešenje:





Nakon (ne baš kratkog) računa dobijamo:



Ako je , onda, koristeći adicione formule (u širem smislu ), vidimo da je



Kako je jasno je da formula iz postavke zadatka zaista važi.

@Farenhajt:

Nadam se da imaš neko humanije rešenje

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 30.08.2006. u 07:21 GMT+1]}

Pa, imam samo malčice humanije rešenje. Pre svega, i dalje ostaje da se "peške" dokaže da je . Međutim, ostala računica može se donekle uprostiti ako se uzme u obzir sledeće: Ukoliko se jedna bočna ivica neke trostrane piramide produži puta, a druge dve ostanu nepromenjene, zapremina će se povećati puta - što je očigledno ako se za bazu uzme trougao određen dvema nepromenjenim bočnim ivicama. Dakle, dokaže li se stav za , dokazan je uopšte. Stoga analitički pristup postaje malo lakši: Uzmimo tačke i postavimo uslove preko intenziteta i skalarnih proizvoda:



i čini mi se da se računica donekle pojednostavljuje jer se onda visina direktno dobija kao , a površina baze je, jasno, .

Dodatak: Ni ona trigonometrijska formula nije odveć komplikovana za dokaz - dovoljno je dvaput transformisati proizvod u zbir, i posle toga se uglavnom sve lepo sredi.

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 30.08.2006. u 17:18 GMT+1]}

Vrlo lepo
Redukcija i posmatranje koordinata zaista značajno skraćuju račun!



Ah...vidim da je i tebe ona moja prvobitna šala ostavila u nedoumici :



nakon što mi je skrenuta pažnja da nije baš jasno da se radi o šali (pa čak ni u čemu je ) - zamenio sam šalu (nadam se) razumljivijom

Da ne zaboravim još nešto: formula je baš lepa pa me zanima ima li neko ime? Zna li se njen autor?

Nisam ni video tu prvobitnu šalu, koja se meni lično više dopada i sasvim mi je razumljiva

U vezi s nazivom formule i autorom nemam podatak, pokušaću da ga pronađem, mada je po formi vrlo "heronoidno-bramaguptična", so to speak

Pokušao sam da nađem tu formulu na netu, ali se pominje samo verzija sa cos, dok ove sinusne nema. Baš šteta, jer se mnogo lakše pamti, a ne može joj se poreći ni estetika. Stvarno deluje čudesno kao veza između površine trougla i zapremine piramide.

Kad već pomenuh Bramaguptu, lako je moguće da bi se za konsferičnu četvorostranu piramidu dalo izvesti nešto tipa



gde bi grčka slova imala slično značenje kao u prethodnom slučaju, ali priznajem da a tempo ne vidim čemu bi bio jednak faktor .