mozemo definisati preko skalarnog proizvoda (,) kao
za sve vektore u i v.
Ako je skalarni proizvod definisan kao , onda imamo
.
Ako ovo vazi za sve u i v, onda

ili, posto je metricki tenzor simetrican:

sto u normalnoj matricnoj notaciji izgleda kao:

i stoga

gde je cist matricni transpose

Stoga uslov postaje


Ovaj rezultat ne treba da bude ni malo cudan. Ortogonalne transformacije intuitivno ne menjaju metriku. A metrika se pri linearnoj transformaciji pak menja upravo kao .

Kada smo vec kod ortogalnih matrica pri proizvoljnoj metrici -- na ovaj nacin mozes da izvedes Lorentzove transformacije u specijalnoj teoriji relativnosti. U 2D (vreme+prostor), to su sve matrice koje ne menjaju metriku .

Marko

Hvala na odgovoru. I meni je logično da se ovako definiše ortogonalna matrica u prostoru sa datom metrikom. Ono što me je bunilo je to što sam čitao Classical Mechanics od Goldstein-a (ruski prevod) u delu koji se bavi malim oscilacijama sistema sa više stepeni slobode on ortogonalnu matricu definiše kao A^T.g.A=I, sa obrazloženjem da su tada vektori koji se dobijaju kao vrste i kao kolone matrice međusobno ortogonalni (tj. skalarni proizvod vektora koji odgovaraju recimo vrsti 2 i koloni 2 je 1, a vrsti 2 i koloni 3 je nula itd.) Mada se lako vidi da za matricu A koji zadovoljava ovaj uslov u opštem slučaju ne važi (Au,Av)=(u,v) sto je odlika ortogonalnim matrica.

poz.