Za prvu:

Zanemarujuci rotaciju Zemlje, ovo je brzina koju je potrebno dati telu tangencijalno na povrsinu Zemlje da bi se (bez prisustva atmosfere) na povrsini Zemlje to telo naslo u kruznoj orbiti.

U ovom slucaju, ubrzanje zemljine teze balansirano je centrifugalnim ubrzanjem u orbiti:
tj. gde je R_z = 6400km poluprecnik Zemlje a g = 9.8m/s^2 ubrzanje Zemljine teze.

Primeti da je na ovaj nacin prvu kosmicku brzinu u principu mogao da odredi jos Arhimed -- znao je i ubrzanje zemljine teze i poluprecnik Zemlje!

Za drugu:

Opet zanemarujuci rotaciju Zemlje, brzina koju je potrebno dati telu u bilo kom pravcu (uvis, naravno) da bi napustilo gravitacioni uticaj Zemlje.

Energija u potencijalnoj gravitacionoj jami Zemlje:

gde je gravitaciona konstanta, masa Zemlje a poluprecnik Zemlje.
Ubrzanje na povrsini Zemlje je pak:

pa je zato
Da bi napustio Zemlju, kineticka energija treba da ti je jednaka -V tj. totalna energija treba da ti je nula. Zato
ili -- puta vise od prve kosmicke brzine.

Za trecu:

Brzina koju je potrebno dati telu sa povrsine Zemlje u pravcu kretanja Zemlje oko Sunca da bi napustilo gravitacioni uticaj Sunca.
Ovaj pravac je optimalan jer se sa Zemljom vec kreces oko Sunca u tom pravcu.

Posto je Zemlja mnogo manja od svoje orbite oko Sunca, ovo mozemo resiti u dva koraka. Ako damo brzinu v sa povrsine Zemlje, tokom kretanja uvis Zemljina gravitacija nam pojede energiju koja odgovara drugoj kosmickoj brzini. Zato po napustanju Zemlje, kineticka energija koja ostaje u odnosu na Zemlju je

gde je dv brzina koja nam ostaje u odnosu na Zemlju.

Za ostatak problema treba da znamo nesto o suncevom gravitacionom polju i Zemljinoj orbiti u njemu. Ja predlazem da koristimo period revolucije Zemlje oko Sunca i poluprecnik orbite Zemlje oko Sunca. Ovo prvo je naravno 1 godina. Ovo drugo znam kao ~8 svetlosnih minuta. Takodje znam da je jedan parsec -- rastojanje sa koga poluprecnik Zemljine orbite oko Sunca zaklapa 1 sekundu ugla oko 3.3 svetlosne godine, sto opet znaci da je poluprecnik oko 8.7 svetlosnih minuta.

Onda:



gde je R rastojanje od Zemlje do Sunca, , masa Sunca i totalna brzina rakete u pravcu oko Sunca.

Da bi napustio Sunce, V + T = 0 ili

ili

ili

ili

gde je c brzina svetlosti ili

To nam daje trecu kosmicku brzinu kao

Jedno malo pitanje za astronome --
kako znamo rastojanje od Zemlje do Sunca? Drugim recima, kako znamo da je parsec jednak ~3.3 svetlosne godine?

Moze li fizicar da odgovori???:)

Ako se dobro secam, Aristarh je prvi pokusao da da procenu udaljenosti do Sunca. Kasnije su i drugi pokusavali, na primer Kopernik, Kepler itd, ali je prvo priblizno tacno rastojanje dobijeno u 17. veku, pomocu posmatranja tranzita Venere preko Suncevog diska. Ideja potice valjda od Edmunda Haleja.

Jedan parsek se definise kao "rastojanje sa kog se rastojanje od Zemlje do Sunca(jedna astronomska jedinica, AJ) vidi pod uglom od jedne (lucne) sekunde". Odatle mozemo dobiti da 1 pc = 206265 AJ = 3,26 SG.