Hint:
nije funkcija. Medjutim, jeste dobro definisan linearni operator za dovoljno glatke funkcije f(x). Ako hoces da budes matematicki precizan, treba pricati o ovom operatoru a ne o samoj delta-"funkciji".

Stvari poput delta "funkcije" koje smisla imaju samo pod znakom integrala u analizi su poznate kao distribucije. Veoma su korisne za opis diskontinuiteta, singulariteta i tako toga....

Kad funkcija trpi konacan skok u nekoj tacki tad njen prvi izvod trpi beskonacan skok.
To se moze objasniti najprostije preko same definicije izvoda H'(x)=dH(x)/dx.
Ovde mozemo dx=x2-x1 posto ovde dx tezi nuli, a 1/0 tezi beskonacno, te je odavde i
H'(0)=beskonacno, a u ostalom delu prostora po definiciji izvoda iz konstante nula.
To i jeste definicije dirakove delta funkcije.

Delta f-ja spada u generalisane (tzv nesvojstvene) f-je koje nisu f-je u pravom smislu (reč je o familiji f-ja) zato što:
može imati bilo koju vrednost u intervalu (-w,w), gde w->0,
van tog intervala vrednost je nula,
a inetgral (površina ispod krive) u tom intervalu mora biti 1.

Hevisajdova f-ja pripada istoj kategoriji f-ja, pri čemu je:
vrednost f-je jednaka 0 od -beskonačno do -w
od -w do w vrednost nije strogo definisana (w->0), ali vazi H(x)=integral od -w do x (D(t) dt)
vrednost f-je je 1 posle w

A zasto je kod Hevisajdove f-je vrednost u 0 bas 1/2? I da li tako to tretiraju i matematicari ili oni Hevisajdovoj f-ji daju recimo vrednost 0 u 0?

To je anomalija Laplasove (Furijeove?) transformacije. Napravi Furijeovu transformaciju f-je H(t) pa potraži inverznu - u tom slučaju će ti se pojaviti da je Hinv(0)=1/2. Po definiciji H(t) za t=0 nije striktno ograničeno na 1/2, važi definicija iz mog prethodnog posta.

pogledaj
http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html
deo pri dnu strane koji se odnosi na Furijeovu transformaciju Hevisajdove f-je. Uz Delta-funkciju je član 1/2, koji će pri inverznoj transformaciji dati vrednost 1/2 u nuli.

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 18.04.2007. u 23:26 GMT+1]}

Evo i nešto preciznijeg odgovora:
Pošto H(t) (Hevisajdova ili odskočna f-ja) ne zadovoljava Dirihleov uslov ne može da ima Furijeovu transformaciju, bar ne u nekom "normalnom" obliku. Da bi se ipak došlo do Furijeove transformacije H(t) pribegava se triku: Traži se Furijeova transformacija f-je h(t)=H(t)-H(t-T), što je u stvari impuls širine T. h(t) ima Furijeovu transformaciju:
F(h(t))=(1-exp(-j*w*T))/(j*w)
a ako se pusti da T teži beskonačnosti impuls se pretvara u Hevisajdovu f-ju, pa se dobija sledeći izraz za Furijeovu transformaciju:
H(w)=pi*D(w) + 1/(j*w)
D je Dirakova f-ja.
Inverzna Furijeova transformacija od H(w) će ponovo dati vrednost h(t), ali će član pi*D(w) dati vrednost 1/2 za t=0.

Literatura: Ilija Stojanović: Osnovi Telekomunikacija, Građevinska knjiga 1977, strana 190-192

Ja sam cuo od jednog profesora da se to 1/2 uvodi zbog Fermi - Dirakove statistike.

Kakve tegobe ima rečena statistika ako se ne uvede ova 1/2?

Takođe je interesantan i Gibsov fenomen, videti:

http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

Ne znam to bih i ja voleo da znam. Verovatno nije zbog teskoca nego zbog bolje fizicke interpretacije.

Nije mi baš najjasnije kako može biti dobro definisan integral nečega što nije dobro definisano. No, pustimo sad to.

Sa označimo skup svih beskonačno diferencijabilnih funkcija takvih da je skup ograničen. Elemente skupa zovemo osnovnim funkcijama.

Za proizvoljne realne funkcije definisane na istom domenu i proizvoljne realne konstante pod funkcijom podrazumevaćemo funkciju definisanu jednakošću U tom slučaju, funkciju zovemo i jednom linhearnom kombinacijom funkcija

Skup obrazuje vektorski prostor, što znači da je linearna kombinacija funkcija iz tog skupa takođe u tom skupu. Pod linearnim funkcionalom podrazumevaćemo preslikavanje za koje je za ma koje i

Za niz funkcija ćemo reći da konvergira ka funkciji kada teži beskonačnosti i pisaćemo ako postoji ograničen skup takav da je za svako i i ako za svaki prirodan broj i svako postoji prirodan broj takav da za svako i svako važi gde označava -ti izvod date funkcije.

Za niz realnih brojeva ćemo reći da konvergira ka realnom broju kada teži beskonačnosti i pisaćemo ako za svako postoji prirodan broj takav da za svako važi

Pod distribucijom podrazumevamo liearni funkcional takav da za ma koje i niz za koji je važi Skup svih distribucija obeležavamo sa Ako je distribucija, a osnovna funkcija, umesto pisaćemo

Preslikavanje koje svakoj osnovnoj funkciji pridružuje njenu vrednost u tački 0 ispunujava uslove iz definicije distribucije. Obeležavamo ga sa i zovemo je Dirakovom distribucijom. Dakle, po definiciji Dirakove distribucije je

Ako je lokalno integrabilna funkcija (što znači da na svakom ograničenom intervalu ima smisla govoriti o njenom integralu), onda se odgovarajuća distribucija obeležava istim simbolom i definiše sa
To je uvek distribucija i distribucije koje opisanim postupkom nastaju od obi;nih lokalno integrabilnih funkcija yovemo regularnim ditribucijama. Sve ostale distribucije zovemo singularnim. Dirakova distribucija je primer singularne distribucije. Sa druge strane, izvod proizvoljne distribucije (regularne ili singularne) se definiše jednakošću


Najzad, da izračunamo izvod Hevisajdove distibucije H. Za proizvoljno važi

Pošto ovo važi za svako sledi da je

Mislim da je ovo i istorijski veoma zanimljivo. Naime Dirak je napisao "Metode kvantne fizike" gde je pomocu delta fje uradio sva izvodjenja i dobio rezultate. Kasnije je Neumann sve ovo egzaktno izveo matematicki primenom mera i to napisao u delu "Matematicke metode kvantne fizike", ali je dobio rezultate koji su se poklapali sa Dirakovim :) Te nije oborio Dirakovu teoriju vec joj je samo pomogao da stane na noge!

Imam pitanja. Naime receno je gore da je delta fja linearan operator, ali takodje i da je distribucija. Da li je pravilno reci da je nesto i operator i distribucija? To me malo zbunjuje. I da li je pravilno reci da je delta fja prosirenje Kronekerovog delta simbola na kontinuum? Zaista bih voleo da neko odgovori na ova pitanja! I zaista me buni kad neko kaze "dovoljno" glatka fja ili "dovoljno" lepa fja ili sl Sta znaci to "dovoljno" i koliko je to "dovoljno"? Unapred hvala na odgovoru!

Ja se nadam da ovde nisu pomešao pojam distribucije u statističkom smislu i pojam distrubucije u funkcionalnoj analizi. Delta funkcija je ovo drugo. Inače u prostor distribucija u funkcionalnoj analizi se definiše kao skup linearnih funkcionala (odatle operatorski deo) koji deluju na prostor , tj. prostor svih beskonačno diferencijabilnih funkcija koje su van nekog konačnog intervala jednake nuli. Dakle distribucija je preslikavanje koje je pri tome linearno tj. za i važi gde su a i b konstante . Pri tome su distribucije neprekidne u odnosu na Švarcovu konvergenciju u , tj za niz funkcija koji konvegira u Švarcovom smislu ka funkciji važi da (ovo je ono što je Nedeljko napisao samo na malo fizičarskiji način).

Prostor svih beskonačno diferencijabilnih funkcija koje su van nekog konačnog intervala jednake nuli je uzet upravo zbog svojstva "dovoljne glatkosti". Matematičarima to nije bitno i njima su daleko interesantniji funkcionalni prostori koji nisu tako "pitomi". Međutim, pošto je analiza osnovno matematičko oruđe kojim se služe fizičari, njima je potrebno da funkcije uvek mogu da se diferenciraju, integrale, razvijaju u redove itd. do mile volje. Srećna okolnost (možda je ovde bolje upotrebiti reč "nužnost") je da se priroda zapravo i ponaša na "gladak" način, tj. malom uzroku odgovaraju i male posledice (u malim vremenskim intervalima) tako da su u osnovi funkcije kojima opisujemo prirodu glatke. Usput je ubačen i zahtev da funkcije budu nenulte samo unutar nekog konačnog intervala što odgovara prirodi jer su u osnovi svi sistemi kojima se bavimo lokalizovani u konačnom delu prostora (ma koliko veliki on bio)


_{[Ovu poruku je menjao tomkeus dana 16.07.2007. u 10:46 GMT+1]}

Ja bih ustvari distribucije u smislu funkcionalne analize mogao definisati kao granice neprekidnih fja. Zar ne?

Da. Dokazuje se da se prostor raspodela sastoji od limesa Koši-konvergentih nizova iz

U rigoroznom matematičkom smislu: Nemam pojma, zato što ne znam kako matematičari definišu "proširenje" Kronekereovog simbola na kontinuum, ako uopšte to i rade.

U smislu analogija: Može se reći zato što ako integral posmatramo kao "kontinualnu sumu" delta funkcija se ponaša kao Kronekerov simbol zato što "ubija" sumu. Slikovitije:

Ovako deluje Kronekerov simbol


Ovako deluje delta funkcija


Kao što vidiš, upotreba je totalno analogna.

Znam to. Dirakova delta fja i ima to delta u imenu od Kronekerovog delta simbola. Iz razloga koji si naveo. Pitanje ostaje i dalje da li delta fju mogu posmatrati kao prosirenje Kronekerovog delta simbola na kontinuum?

Već sam ti rekao:Opisno govoreći, ako sumu pretvorišu i untegral, a indekse u promenljive onda možeš. Ovde mi doduše nije skroz jasno šta podrazumevaš pod pojmom "proširenje" i zašto ti je to toliko bitno.

"Prosirenje". Mislim da izraz "produzenje" ne bi bio dobar obzirom da bi moglo da se pobrka sa analitickim produzenjem a to shvakako ne bi bilo OK. Mozda ti se vise svidja ovako:Ako predjemo sa diskontinuuma na kontinuum da li Kronekerov delta simbol postaje Dirakova delta fja? Ja ipak mislim da je to vrlo vazno. Jer mi ovek u granicnim procesima tezimo da pravimo neke analogije ne bi li izveli neke zakljucke i dosli do odredjenog rezultata. Iako je priroda sama po sebi diskretna mi nekad tezimo da je posmatramo kao "razmazanu".

Mislim da sam konačno shvatio ono što hoćeš da pitaš:

Recimo da je operacija "prelaska sa kontinuum na diskontinuum" dobro definisana matematička operacija predstavljena nekom funkcijom koja preslikava kontinualne skupove u odgovarajuće diskretne skupove, kontinualne strukture (operatori, funkcije itd.) u njima odgovarajuće diskretne strukture. Ono što tebe zanima (koliko sam shvatio) je da li postoji teorema koja kaže da će se pri dejstvu ove operacije delta funkcija preslikati u Kronekerovu deltu (takođe i obrnuto, tj. da li će se pri obrnutom postupku kronekerova delta preslikati u delta funkciju).

Prilično sam siguran da takva teorema ne postoji. Ono u šta nisam siguran je da tako nešto nije moguće dokazati.

Što se fizike tiče, već sam nekoliko puta ponovio da na nivou analogija delta funkcija jeste svojevrsni analogon kronekerovoj delti, ali ova analogija se realizuje samo matematički, tj. ova analogija potiče od ponašanja koje ova dva objekta imaju u sumama, ali kada je priroda u pitanju, delta funkcija ima neku direktnu interpretaciju u vidu nečeg što je vrlo lokalizovano tj. diskretno dok Kronekerova delta predstavlja samo algebarski konstrukt i ništa više.

Na ovom delu Foruma je napisano kada fja trpi konacan skok njen izvod trpi beskonacan skok. Ipak ima li smisla pricati o tome kad nama iz diferencijabilnosti sledi neprekidnost? Odnosno izvod definisemo samo tamo gde je fja neprekidna.

kako dirakova funkcija utice na pocetne uslove neke linearne dif, jednacine
naime nasao sam i u jednoj zbirci Sistemi Automatskog upravljanja od Kecman-a
gdje kaze da ako imamo dif jednacinu n tog reda da je na ulazu dirakova impulsna funkcija
onda mozemo rijesiti jednacinu tako sto je rijesavamo bez dirakove impulsne funkcije ali pocetne uvijete u 0+ izmijenimo
zna li neko nesto vise o ovome trazio sam po netu nisam nista nasao
u zbirci su samo date gotove opce formule sta se gdje uvrstava ali nije izvodjenje niti neko objasnjenje