[ ivanujcic @ 18.04.2007. 21:27 ] @
Nasao sam ovaj zadatak u jednoj zbirci za 3.razred gimnazije i ne mogu da ga resim

Dokazati da je n^4 - 2n^3 +11n^2 + 62 deljivo sa 24.

Ja sam posao od ovoga: 24 sam razdvoio na 4 i 6. Broj je deljiv sa 6 kada je u obliku n^3-n ali nista nisam uspeo da uradim u vezi toga. Broj je deljiv sa 2 kada je u obliku n^2+n odnosno n^2-n.
Veoma sam zainteresovan za ovaj zadatak. Radio sam ga 1.5h ali nista. Uostalom ja sam osmi razred osnovne skole ali mislim da to nije tesko uraditi, samo ima neka caka.

[Ovu poruku je menjao ivanujcic dana 18.04.2007. u 23:09 GMT+1]
[ Daniel011 @ 18.04.2007. 22:06 ] @
Jesi li siguran da si dobro napisao tekst zadatka?

Za n=1 i n=2 navedeni izraz nije deljiv sa 24, a dalje nisam proveravao...
[ ivanujcic @ 18.04.2007. 22:11 ] @
Oprostite svima. Popravio sam zadatak nije + 60 nego +62
[ Daniel011 @ 18.04.2007. 22:17 ] @
Posle ove ispravke, izraz je deljiv sa 24 kada je n=1, ali ne i kada je n=2...
Proveri to još jednom.
[ ivanujcic @ 18.04.2007. 22:21 ] @
Tacno je, ali meni treba dokaz tog zadatka (opste resenje) npr. (n^3-5n)(n^2+2n)U tom smislu mi treba resenje.
[ Daniel011 @ 18.04.2007. 22:30 ] @
Žao mi je, ali nije moguće dokazati nešto što nije tačno. Ovaj izraz, čak i sa ovom ispravkom, nije deljiv sa 24 za svako n.

Da ne treba možda umesto 62 da stoji 62n?
[ ivanujcic @ 19.04.2007. 07:22 ] @
Kako bi onda izgledalo resenje?
[ Daniel011 @ 19.04.2007. 10:32 ] @
Ako misliš na slučaj sa , on može da se dokaže primenom matematičke indukcije. Možda može i na jednostavniji način, ali ovo je jedino što mi za sada pada na pamet.

1) prvo se dokaže da je iskaz zadovoljen za :



2) zatim se dokazuje da, ako je iskaz tačan za neko , biće tačan i za :





Pošto je izraz u prvoj zagradi po pretpostavci deljiv sa , treba dokazati da je izraz u drugoj zagradi, takođe deljiv sa . Pošto je , to dokazivanje se svodi na dokazivanje da je .



je deljivo sa za svako , samim tim će i biti deljivo sa za svako .
je, prema tome, deljivo sa za svako .