Ukratko, čuvar nije u pravu, tj. tačan je rezon pod 2. (S tim da si, verovatno, pod događajem A podrazumevao događaj da će zatvorenik A biti zadržan, a ne pušten?)

U razmišljanju pod 1. se previđa činjenica da izbor čuvara nije nezavisan događaj, nego zavisi od dve stvari: od prethodne odluke koja će dva zatvorenika biti puštena, kao i od toga koji će ga od 3 zatvorenika pitati za tu informaciju. Zbog toga se problem ne sme posmatrati tako pojednostavljeno kao što je to učinjeno pod 1.

Razmišljanje pod 3.
Prilično zbunjuješ ovim oznakama. Mogu jedino da nagađam šta znači malo a, a šta veliko A itd. Ovde pretpostavljam da pod velikim A podrazumevaš događaj da će A biti pušten, B da će B biti pušten i C da će C biti pušten. Drugo, sa b si označio događaj da je jedan od B ili C pušten. Ali tu treba biti precizan: da li to znači bar jedan od B ili C, ili znači samo jedan od B ili C? Ja pretpostavljan da znači samo jedan, jer u slučaju da b znači bar jedan, verovatnoća događaja b bi bila 1.
Ti me ispravi ako sam ove oznake pogrešno protumačio.
Dakle, sa ovako protumačenim oznakama, verovatnoća koju si tražio, P(A/b), označava verovatnoću da će A biti pušten kada je poznato da je pušten samo jedan od B ili C. (I ta verovatnoća iznosi 1, ne znam kako si ti dobio 1/2). Ali to nije ona verovatnoća koja nas interesuje, jer time što je čuvar zatvoreniku A rekao koji će od B ili C biti pušten, nije mu rekao da li je taj što će biti pušten, jedini od te preostale dvojice koji ide napolje, ili i onaj drugi ide napolje zajedno sa njim. Odnosno, A i dalje ne zna da li će biti ostvaren događaj koji si ti obeležio sa b.

Možda će ti biti od pomoći ako pogledaš jedan sličan problem o kome smo razvili žustru raspravu pre nekih mesec dana. Tamo se spominju dva slučaja, jedan sa kovertama, a jedan sa vratima. Ta dva slučaja su međusobno potpuno različita, a ovaj slučaj sa zatvorenicima bi mogao da se poistoveti sa slučajem sa vratima (ali ne i sa kovertama!)

Ja sam ti to sinoc oko 2h postavljo tako da sam bio umoran za detaljnija objasnjenja, moja greska, sorry, ovako pod:

2.

P(A/b)-vjerovatnoca da ce A ostati u zatvoru pod uslovom da je B pusten tj. da mu je cuvar rekao da ce biti pusten
e sad sta me malo buni

P(b/A)=1/2-ako A ostaje u zatvoru jednako je vjerovatno da ce cuvar reci da ostaje B ili C(a napravili smo predpostavku da je B pusten)
P(b/C)=1-ako C ostaje onda sigurno izlazi B
P(b/B)=0-kao B izlazi sigurno tako da je vjerovatnoca da ostane 0

2.

P(A/b)-vjerovatnoca da ce A ostati u zatvoru pod uslovom da je barem jedan od B ili C pusten, tj da je cuvar rekao da ce jedan biti pusten.

P(b/A)=1-vjerovatnoca da ce barem jedan od B ili C izaci pod uslovom da A ostaje
P(b/B)=1/2-vjerovatnoca da ce u ovom slucaju ostati C kada je B pusten
P(b/C)=1/2-vjerovatnoca da ce u ovom slucaju ostati B kada je C pusten

a ovo rjesenje:

P(A/b)=[P(Ab)]/P(b)=[P(Aostaje)P(b/A)]/P(b)-vjerovatnoca da ce A ostati pod pretpostavkom da ce barem jedan od B ili C otici(jer je to pitanje zatvorenika)

P(b)=P(Bodlazi)P(Codlazi)+P(Bodlazi)(1-P(Codlazi))+P(Codlazi)(1-P(Bodlazi))=2/3*2/3+2/3*1/3+2/3*1/3=8/9-vjerovatnoca da barem jedan od B ili C ide
P(b/A)=1-vjerovatnoca da ce barem jedan od B ili C otici ako A ostaje

P(Aostaje)=1/3-vjerovatnoca da A ostaje prije nego sto cuvar eventualno da odgovor

Sada je

P(A/b)=3/8 sto mi je mozda i logicno jer je prije pitanja, sto se moze ekvivalentirati sa razmisljanjem A jer su dobili info da 2 idu a 1 ostaje, bila 1/3=0.33, a nakon ovoga vjeerovatnoca da ostane povecala na 3/8=0.375, jer ako mu kaze koji ide tada je rjesenje pod 1., tj. nema vise zavisnih dogadjaja ,a ovo vazi sve dok se iscekuje odgovor jer su tada zavisni, please da odgovorite sto prije jer mi treba hitno.

Moje konacno rjesenje je (valjda je tacno):

Neka je b dogadjaj da ce cuvar reci da ce biti pusten zatvorenik B.

Sada je vjerovatnoca da ce A ostati pod pretpostavkom da ce cuvar reci da je B pusten:

P(A/b)=[P(Ab)]/P(b)=[P(A)P(b/A)]/P(b)

Gdje je

P(b)=P(A)P(b/A)+P(B)P(b/B)+P(C)P(b/C)
P(A)=P(B)=P(C)=1/3
{vjerovatnoce da zatvorenici ostaju}

P(b/A)=1/2
{vjerovatnoca da ce cuvar reci da je B pusten uz predpostavku da A ostaje, jer moze reci i da ce biti pusten C, naravno kako A pita uvjek su u opticaju B i C}


P(b/B)=0
{vjerovatnoca da je cuvar rekao da B ide ako B ostaje}

P(b/C)=1
{vjerovatnoca da ce cuvar reci da B ide ako C ostaje}

Sada je nakon sto se vrjednosti uvrste vjerovatnoca

P(A/b)=1/3
Dakle cuvar nije u pravu.
Predpostavku na pocetku smo mogli napraviti jer se isto dobije ako predpostavimo da je cuvar rekao da ce biti pusten C.

Ovo je sve tačno, ne znam šta te tu buni?


Ovde praviš grešku, jer događaji da A odlazi, da B odlazi i da C odlazi nisu međusobno nezavisni, pa se ni njihove verovatnoće (kao ni verovatnoće preseka tih događaja) ne smeju ovako jednostavno sabirati.
Verovatnoća P(b) da će bar jedan od zatvorenika B ili C biti pušten je jednaka jedinici, jer po uslovu zadatka, u zatvoru ostaje samo jedan zatvorenik.


Tvoje rešenje koje si izložio kao poslednje, je sasvim tačno.

... e hvala ti puno, puno si mi pomogao, bunilo me je to sto se je napravila predpostavka da je B vec pusten, a po meni je ispravna da ce reci da ce B biti pusten, a vjerovatno se i misli na to, hvala u svakom slucaju.

Malo elegantnije rjesenje

Kada je zatvorenicima receno da ce 1 ostati i da ce 2 biti pustena vjerovatnoca svakog da ostane je 1/3 te svaki kada posmatra drugu dvojicu zna da ce jedan od njih biti pusten, te ukoliko pita cuvara koji ce biti pusten i ako mu ovaj i kaze on time ne dobiva novu informaciju (tj. zna isto ono sto je znao i prije nego je pitao) tako da mu vjerovatnoca ostaje ista i koja je bila prije pitanja, na koje je (eventualno) dobio odgovor tj. 1/3

Je li to varijacija na Monty Hall problem?

To razmišljanje zatvorenika A je i navedeno u postavci zadatka.
A i logično je.
Nego čuvar k'o čuvar...

Pa, slično je. Ista se logika koristi.
U jednom mom prethodnom postu u ovoj temi sam dao link na drugu temu u kojoj je bilo reči o tom problemu sa vratima (odnosno Monty Hall problemu).