jel' ti je nešto hitno, ili samo onako pitaš?

Nisam postavio zadatke zato što su mi potrebna rešenja, već eto ako neko hoće da se zanima za vreme raspusta...

poz.

Imas li jos zadataka iz logaritama, trigonometrije...

1. Očito je da mora biti . Kad se otarasimo logaritama, dobijamo:




Ako stavimo , sistem postaje




odnosno




Iz prve jednačine je , a iz druge je . Izjednačavanjem i eliminisanjem eksponenta imamo

, tj. , odakle je tj. .

Zamenom tog rezultata u bilo koju od polaznih jednačina dobija se
, odakle je , pa je

Ok, ali nisi pokazao da nema drugih rešenja...

poz.

Ok, ali nisi pokazao da nema drugih rešenja...

poz.

Nije li to izlišno? U gornjem izvođenju nema nikakvog "grananja slučajeva", šanse za deljenje nulom itd. - sve pravolinijski vodi do jedinstvenog rešenja. Zato sam i naznačio da i moraju biti pozitivni, kako bih mogao nesmetano da skraćujem sve što mi treba.

Sve to, naravno, ukoliko se sistem rešava u skupu . A ako misliš na diskusiju u skupu , moraću još da razmislim.

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 30.12.2005. u 09:17 GMT+1]}

2. Oblast definisanosti nejednačine je (zbog imenilaca i logaritma). Razmatraćemo dva slučaja:



Za pozitivno orijentacija nejednačine ne menja se pri množenju sa , pa posle sređivanja i eliminisanja logaritma dobijamo .

Za je , pa tu rešenja nema i dovoljno je ispitati interval . Posmatrajmo funkciju , definisanu za , i pravu . Prvi izvod funkcije je . Lako se proverava da je na datom intervalu drugi izvod svuda negativan. Dakle, funkcija je konkavna, što znači da je svaka tangenta tangira odozgo. Uzmimo tangentu u tački . Tu je i , pa jednačina tangente glasi .

Iz sledi . Stoga , pa je . Znači, prava je uvek iznad prave , a samim tim i iznad krive , te nejednačina u ovom slučaju nema rešenja.



Zbog toga što u ovom slučaju množenje sa menja orijentaciju nejednačine, ona će posle sređivanja glasiti .

Ovde razmatramo dva podintervala: i . Za interval možemo opet iskoristiti krivu i prave i iz prethodnog slučaja, i lako pokazati da je prava i na tom intervalu iznad krive . Međutim, pošto je u odnosu na prethodni slučaj nejednačina obratno orijentisana, sledi da je ona na tom intervalu zadovoljena. Što se tiče intervala , tu imamo i , pa nejednačina tu nema rešenja.

Zaključak: Skup rešenja date nejednačine je interval

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 30.12.2005. u 06:11 GMT+1]}