Modul=ostatak pri djeljenju.Naprimjer 20/3=6 +2 ostatka.Ili (20)Mod3=2.
Vrijede ova pravila:(a+b)Modx=(aModx+bModx)Modx
(a*b)Modx=(aModx*bModx)Modx
Ovo su očigledna pravila koja ne treba posebno dokazivati.
U onim zadacima samo treba zgodno rasčlanjivati i lako se izračuna
ostatak pri djeljenju.
Evo jedan primjer:90Mod7=(9Mod7*10Mod7)Mod7=(2*3)Mod7=6mod7=6
A moglo je i ovako 90 Mod7=(70Mod7+20Mod7)Mod7=(0+6)Mod7=6
Dakle možemo na mnogo načina.Bitno je uočiti najlakši put.To je i svrha onih zadataka.

Dobar primer su one dve cifre kod digitalnog časovnika koje pokazuju sekunde, svake sekunde se sabiraju sa 1 po modulu 60. To znači, posle broja 59 ne uvećavaju se na 60 nego se vraćaju na nulu, pa ispočetka...

Evo za sad prvog zadatka:

Bilo koji broj po modulu 13 može imati vrednosti od 0 do 12 (tj. ukupno 13 vrednosti). To isto važi i za stepen tog broja, pri čemu kako uvećavamo stepen broja za 1, dobijamo vrednosti po modulu 13 koje se ciklično ponavljaju. Evo kako to izgleda na primeru broja 2:



























Pošto smo za dobili onu vrednost koju smo dobili i za , dalje se ponavlja ciklično. Iz toga vidimo da je perioda ovog ponavljanja 12, tj. pri svakoj promeni eksponenta dvojke za 12, vrednost po modulu ostaje nepromenjena, tj. .

Prema tome,

2 zadatak:

, , prema tome 315 je najveći broj manji od 317 koji je deljiv sa 15.

Sada napišemo kao



a to kad se razvije, dobije se



Vidimo da su u ovom razvoju svi sabirci osim poslednjeg, deljivi sa 315, a samim tim i sa 15, pa je vrednost celog izraza po modulu 15 jednaka vrednosti poslednjeg sabirka po modulu 15. Prema tome,



Sad treba naći periodičnost promene eksponenta dvojke pri kojoj se ponavljaju vrednosti po modulu 15:











Znači, perioda promene eksponenta je 4. Najveći broj manji od 259 a deljiv sa 4 je 256:



Znači,





Koristeći sve ovo, možeš uraditi i 3. zadatak. Dobije se da je i , tako da kad se saberu, daju broj koji je jednak , tj. deljiv je sa 7.
Ako zapne, reci pa da pomažemo.

Verujem da će ti biti od pomoći i ovaj sajt, tu imaš dosta primera sa modularnom aritmetikom, a između ostalog i rešenje ovog 3. zadatka sa 2222⁵⁵⁵⁵ i 5555²²²².

Hvala ti veliko :)
Skapirao sam odmah kad sam procitao prvi primjer.

Ispalo je lakse nego sto sam ocekivao!