Zar niko ne moze da resi ovaj zadatak? Ja ne umem da ga resim i zivo bi me zanimalo da vidim resenje.

Što bi se ovde reklo: "Zar očekuješ da ti se domaći servira na tacni?"

Prvo, imam previse godina da bih imao domaće zadatke.

Drugo, lepo sam napisao dokle sam stigao - do svođenja opšteg slučaja na slučaj kompaktnih skupova, a dalje ne umem.

Treće, ne očekujem ni kompletno rešenje, nego bar neku ideju za početak.

Četvrto, više godina sam posećivao ovaj forum i priložio mnoga rešenja. Voleo bih da mi neko da link gde sam izvoljevao da mi neko kompletno reši zadatak, a da prethodno nisam ni prstom mrdnuo.

Hej, to je bila šala... (Pretpostavljam da ti je poznat taj pojam.) Nije mi bila namera da ti bušim ego, te nema ni potrebe da se rogušiš.

nemoj da se ljutis nedeljko, uradit cu ti ja zadatak, samo dok svežem kosu :lol :)

Da li E mora da ima nepraznu unutrasnjost?

Recimo da mora:
E je Lebeg merljiv, pa bi njegova unutrasnja mera bili svi intervali koji sa E imaju zajednickih tacaka (mislim njihova duzina), pa lim kad n->besk. Ako ne bi bilo ni jednog intervala koji je ceo u E onda bi mu unutrasnja mera bila nula, pa bi skup E bio ili nemerljiv ili mere nula.

Dakle, E sadrzi neki interval, pa ima unutrasnju tacku recimo x.
Onda postoji neka okolina od x :
sada
Hocu da pokazem da je z unutrasnja tacka od E+E, tako sto je okolina
Uzmem proizvoljnu tacku


Oznacim je sa


=> z je unutrasnja tacka od E+E

ne mora da ima nijednu unutrašnju tačku.

Da li znas neki primer takvog skupa?

Uzmi skup iracionalnih brojeva iz intervala .

To nije kompaktan skup. No, moze se konstruisati takav skup slicno kao Kantorov, s tim sto ukupna suma sirina izbacenih intervala treba da bude manja od od sirine polaznog intervala iz koga se vrsi izbacivanej.

Sabandijilla se nigde nije ograničio na kompaktne skupove, već je tražio (makar kako sam ja razumeo) primer bilo kakvog skupa pozitivne Lebegove mere koji nema unutrašnjih tačaka.

Aj Nedeljko (ako si jos u stanju) napisi to kako si opsti slucaj sve na kompaktne skupove (a bilo bi super ako si u medjuvremenu uradio ceo zadatak (koji je iz knjige Arsenovic/Dostanic/Jocic, jel tako?)).

Iz regularnosti i -konačnosti Lebegove mere sledi da svaki skup pozitivne mere ima kompaktan podskup pozitivne mere. Ako bi skup imao unutrašnju tačku, tim pre bi je imao i .

Što se samog zadatka tiče, rešenje verovatno najjednostavnije ide preko Lebegove teoreme o gustini. Naime, iz navedene teoreme direktno sledi da postoji za koje je . To znači da možemo odabrati takvo da je . Dokazaćemo: . Pretpostavimo suprotno: neka , . Neka je, bez umanjenja opštosti, . Tada za svako važi . Kako , sledi da i ne mogu istovremeno pripadati skupu . Odatle su skupovi i disjunktni, pa važi



što je u kontradikciji sa izborom .

Na isti način se dokazuje i da za dva merljiva skupa s pozitivnom Lebegovom merom, i , skup ima nepraznu unutrašnjost.

Svaka čast Bojane!

I tako se Bojan (kao autor rešenja) i ja (koji sam ga odobrio) pređosmo.

Nije tačno da je

,

već je

.

Na kraju popravljenog računa dobiće se , što je manje od , što nije dovoljno dobra procena. Ako bi se pak bilo i konstanta se zamenila sa popravka bi bila moguća.

Ma kao da je bitno je li ili , šta sitničariš, broj kô broj.