Moze matematickom indukcijom lako da se rjesi.

Dokazati da je prvih cifara iza decimalne tacke u zapisu broja jednako 9.

Resenje je elegantno i dokumentovano na ovom forumu.

To je jasno! Moze li bez nje? Neko originalno resenje?!



Ovakve stvari su nepotrebne za bilo sta u nekoj praksi i zivotu pa se ne bih udubljivao! Ko ovo voli da radi iz hobija super!

Hajde da probam Petrov zadatak (ovaj koji je Nedeljko izneo sam upravo ja svojevremeno postavio na forum, pa nema smisla da opet pišem isto rešenje ).

Pođimo od identiteta , za koji se lako vidi da važi za (tada su obe strane jednake ), ali kako obe strane predstavljaju polinom po stepena najviše , i kako se poklapaju u tački, sledi da identitet važi uvek. Stavljajući sada ostaje . Leva strana je jednaka a desna predstavlja zbir prve polovine elemenata -og reda Paskalovog trougla, a kako su oni (zbog simetričnosti Paskalovog trougla) jednaki drugoj polovini, zbir na desnoj strani iznosi Deljenjem obeju strana sa imamo identitet koji je trebalo dokazati.

Pao mi je na pamet i neki kombinatorni argument, ali o tom potom, kad proverim koliko to ima smisla. Naravno, bilo bi lepo zabeležiti i rešenje indukcijom, ali to bih prepustio nekom drugom.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 11.03.2009. u 15:41 GMT+1]}

Hajmo indukciju!

1.)
1=1

2.)



3.)



- ovo treba da se dobije nisam uspeo da ispetljam!

Kud se dede u binomnom koeficijentu?

Greska! Ne treba da se dene!

Dobro, ali sad ne možeš primeniti indukcijsku hipotezu.

Dokaz prvog zadatka preko verovatnoće:

Bacajmo novčić puta. Tada izraz predstavlja verovatnoću da u eksperimentu dobijemo ishoda jedne vrste i ishoda druge vrste. Eksperiment smatramo uspešnim ako se pojavilo ishoda jedne vrste. To će se sigurno desiti posle najviše bacanja (a eventualno i ranije). Dakle, sumiranjem navedenih izraza po , u granicama od do , dobijamo siguran događaj, te suma iznosi . Rezultat sledi.

EDIT: Desiće se, zapravo, posle bacanja, po Dirihleu. Gde mi je greščica?

Ovo je dvosmisleno: jesi li unapred fiksirao šta ti je jedna a šta druga vrsta, ili ti je pak bitno samo da odnos bude takav, bez obzira na to šta je šta? Ispravan je prvi rezon, tj. da kažemo „...dobijemo pisama i glava“, a ovo naglašavam zato što mi izgleda da si naknadno prešao na drugo tumačenje.

Svejedno, posle praviš mnogo veću grešku:

Ovo ne možeš sumirati, jer su opiti različiti (bacaš novčića, a je promenljivo).

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 20.07.2008. u 03:28 GMT+1]}

A ovakvo tumačenje, recimo?

Stavimo belih i crnih kuglica u kutiju, pa nasumično izvučemo kuglica. Eksperiment je "izvući sve bele kuglice", a nakon prvih izvlačimo jednu po jednu dok se eksperiment ne okonča - a sigurno će se okončati najdalje do -te kuglice.

EDIT: Tu je možda problem nezavisnost daljih izvlačenja. U tom slučaju, možda može ovako: Izvučemo kuglica i konstatujemo jesu li među njima zastupljene sve bele. Ako nisu, vraćamo kuglice u kutiju i ponovo vadimo izvestan broj.

Valjda ovako!

ZAD
Neka su i neprekidne periodicne fje sa zajednickim periodom , definisane na skupu realnih brojeva i neka je . Dokazati da je za svako .

Mozel ovako kontrapozicijom:

Neka je f(t) razlicito od g(t) za neko t iz R.Tada je posto f i g imaju zajednicki period f(x+k*T) != g(x+k*T), k iz Z.Sada

.

P.S
Nisam siguran bas da je ona smjena korektna Petre.
Nemogu da nadjem link za 2 zadatak jel mozete okaciti ovdje.

Ajd za nezavisnost, ali pri ovakvom eksperimentu nemaš mogućih događaja.

Ne, naravno. Kada radiš nešto indukcijom, bitno je da prilikom pozivanja na indukcijsku hipotezu vrednost za koju je primenjuješ zaista bude manja od one s kojom tog momenta radiš — a ne samo da uvedeš smenu kako bi to tako izgledalo. :) U citiranom delu primenjuješ indukcijsku hipotezu za (kako god ti to zvao, a nazvao si ), što ne možeš.

I sad mozda iskoristiti Paskalovo pravilo



odnosno








i ovo opet ne mogu da ispetljam:(

- fiksno





Ako je parno ocigledno je i parno i ako je neparno onda je i neparno! Pretpostavljam da je jedini nacin da pokazem kolko iznosi gornja suma je da pokazem kolko iznosi za parno, neparno i da pokazem da nema razlike? Voleo bih u svakom slucaju da vidim moze li se ovo ikako resiti drugacije?

- parno




- neparno








_{[Ovu poruku je menjao petarm dana 21.07.2008. u 13:30 GMT+1]}

Zao mi je sto nisam uspeo da isteram ovo sa indukcijom do kraja. Voleo bih da neko drugi istera ako ima vremena da vidim gde sam gresio. A ja bih se iskupio na sledeci nacin
Ja sam dokazao upravo jednu matematicku relaciju koja se cesto koristi u fizici pa sam resio da je okacim ovde racunajuci da ce se nekom svideti.Uz to bice i prica uz ovaj dokaz!
To je operatorska relacija. U fizici se operatori pisu sa kapicom iznad slova ^ npr. . To je uveo Landau (Nobelovac) kada je stigao u Moskvu. Stampari su u to vreme imali problema sa brojnim oznakama pa da bi im olaksao Landau je uveo da se operatori pisu na ovaj nacin.Fizicari tako pisu operatore i danas. Bitni operatori za fiziku su linearni (za njih vazi princip superpozicije) i ermitski (predstavljeni su ermitskim matricama). Za takve operatore vazi identitet

Gde je komutator (operatori su nekomutativne strukture) sa sledecim osobinama
http://www.elitesecurity.org/t330663-Osobine-komutatora

Ja cu pokusati da ovaj identitet dokazem matematickom indukcijom:

1.)


2.)
:


3.)

iskoristio sam jednu osobinu komutatora za koju vec postoji link u ovoj mojoj poruci


Poslednji sabirak je -ti clan ove sume pa ga mogu uvuci pod sumu. Kada to uradim dobijam



Cime je ovaj identitet dokazan. Ako nekog zanima naglasio bih jos zasto je ova relacija vazna u fizici!
Za slucaj da komutira sa (naravno u tom slucaju komutira i sa svakim stepenom od ) u zapisu dobija se



Posto se u kvantnoj mehanici postulira
lako se dobija

ili

Nadam se da se ovo nekom svidelo! Ne znam Bojane dal mozda imas neku ideju kako bi se i ovo moglo dokazati bez indukcije?

Prvo, . Račun ti nije tačan. Ne znam odakle ti i . A ako već znaš možeš ga odmah primeniti na .

Jedan način je školska formula za zbir aritmetičke progresije: prvi član plus poslednji član ima isti zbir kao drugi plus pretposlednji itd. Drugi način je da se napiše kao i onda ti se pokrate svi unutrašnji članovi. U vezi uopštenja ove ideje vidi

http://www.elitesecurity.org/p1997028

Da, tačno. Omaškom sam napisao .

Evo jedan sa interesantnom smjenom:

Mozda se nisam najbolje izrazio, ali sam naglasio da izmedju postoji veza. U zavisnosti od ne moze da uzima sve vrednosti! Odnosno u jednom slucaju bi sumu bilo najbolje pisati kao

, a u drugom

Sad tek vidim šta si napisao. Ako je onda to ne može imati nikakve veze sa iz , jer se prvo može zadavati (slobodno je), a drugo trči preko nekih vrednosti i ne može biti zadano (vezano je). To je potpuno isto kao da si napisao i ta suma je jednaka . Nisam baš čitao šta si sve napisao, ali se nadam da sam ti pomogao.

Mene zapravo zanima da li ja mogu da kad izracunam jednu od ovih suma npr. da tvrdim da za ovu drugu sumu dobijam isti rezultat bez izracunavanja? I ima li neke veze sa kombinatorikom sto se dobija bas ?

Obadvije sume idu do n,medjutim jednom je n parno drugi put neparno nije jasno dokle ide sumiranje.

Ti dobijas i rezultat koji zavisi od i u jednom i u drugom slucaju!

Dobro haj mi sad reci ako dobijes kako ti kazes u obadva slucaja kako to moze biti isto ako je jednom n parno a drugi put neparno.

Pa nije isto, al ista je forma resenja! Ja kad resavam problem koji sam zadao, videces ako ga pazljivo procitas, ne znam dal je n parno ili neparno? Pa pretpostavim i jedan i drugi slucaj i ocigledno dobijem sta dobijem!

Pusti to haj rjesi onaj integral :D

a pa cim je 76' 100% cu probati da resim...jaoo boze

Ako je neparno, na primer za neko celo , onda je , odnosno i nikako ne moze biti ono sto si dobio. Recimo, za je odnosno .

Ostavio sam ti link gde je data formula za za proizvoljan prirodan broj .

Pa smena i nije nesto mnogo interesantna.
Nadam se da resenje zadovoljava.
Ili ima neki interesantniji nacin za resavanje?

Pretpostavicu da je Drugi slucaj je analogan.
Jedan od nacina je Ojlerova smena , , kada se integral svodi na i ne vidim nikakvu pamet u tome. Ovo je potpuno tipski zadatak i ovo je standardno resenje, kao i ono koje je igorpet napisao.

Moguce su i smene i . Ovom drugom se integral svodi na .

Prva smena dovodi do kompleksnog resenje (a zatim treba naci i t i sve to malo srediti), ali kako u drugoj dobijas samo cos(t)^2 ???
Da li ja negde gresim ili si ti Nedeljko negde napravio previd?

Nadam se da je sad ovo zapisano u korektnom obliku?

Ja znam da mi je

Ja treba da izracunam sledece

Zbog veze izmedju i ja mogu da imam jednu od gornje 2 sume! Jel tako? Da li ja mogu da PP da je neparno npr. i da prosumiram prvu od gornje dve sume i da napisem i kazem to mi je rezultat u zavisnosti od , a drugu sumu ne moram sumirati jer znam da cu dobiti zbog...?

Meni je ova smjena interesantna x=acos²t+bsin²t



Tema je zanimljivi zadaci eleg rjesenja,meni je ovo rjesenje interesantno,nisam ni rekao da je nesto tezak zadatak.Evo jedan tezak zadatak (bar meni) koji sam vec ranije postavio i niko se nije javio.

Konstruisati kružmicu kojoj je centar na datoj pravi a iz date dvije tacke križnica se vidi pod datim uglovima.

Nedeljko je napravio previd znaka minus pod korenom. Neka su realni brojevi, pri čemu je . Da bi podintegralna funkcija u kojoj se pojavljuje bila definisana na bar jednom intervalu, funkcija mora imati pozitivnu vrednost u bar jednoj tački, koju ćemo označiti sa . Nadalje će biti racionalna funkcija dve promenljive sa realnim koeficijentima, koja je definisana u bar jednoj tački realne ravni.

Razmotrimo problem svođenja integrala na integral racionalne funkcije.

Ako je , onda se može koristiti druga Ojlerova smena: , , . Pomenuću i da je druga Ojlerova smena dovoljna za svođenje svakog integrala ovakvog tipa (bez obzira na znak broja ) na integral racionalne funkcije, jer se nakon smene dobija integral na koji se može primeniti druga Ojlerova smena.

Ako je , onda se može koristiti prva Ojlerova smena , , .

Ako je , to jest polinom ima dve realne nule, koje ćemo označiti sa i , recimo , onda se može koristiti treća Ojlerova smena , , .

U svakom slučaju, iracionalnost se uvek može linearnom smenom svesti na tačno jedan od sledeća tri oblika: , i . U prvom slučaju se mogu koristiti smene , i . U drugom slučaju se mogu koristiti smene , i . U trećem slučaju se mogu koristiti smene , . Na taj način se dobijaju integrali koji se standardnim smenama svode na integrale racionalnih funkcija.

Smena jeste interesantna i prilicno je neocigledna, a ima i da se radi dok se ne uprosti.
Interesantnije bi bilo da je to jedina moguca smena, ovako kada moze mnogo jednostavnije gubi se poenta, ali je ipak OK.

Nedeljko, bas si se iskupio za onaj minus . Nisam ni sumnjao da sve ovo znas, nisi morao da se opterecujes ovolikim kucanjem, ali siguran sam da ce ovo nekome koristiti.

Ja za Ojlerovim smenata potezem samo kada ne moze drugacije, a ovde je bilo dovoljno kvadratni trinom dovesti na kanonicni oblik i primeniti klasicnu i logicnu smenu.

Iracionalnosti tipa se mogu eliminisati i smenom .

Jos "interesantnija" je smena , kojom se integral svodi na . Tako mozes jednom smenom "resiti" bilo koji integral kada znas resenje.

Pa Nedeljko x=acos²t+bsin²t je u stvari
To je ista ta smena

U stvari x=acos²t+bsin²t je i samo je pitanje da li ce integral biti ili

_{[Ovu poruku je menjao igorpet dana 24.07.2008. u 14:16 GMT+1]}

Nedeljko ne znam sto si se uhvatio te smjene toliko,jel ti nesto narocito smeta ili sta.Nekome co ovo sto si napisao koristiti i to je to.Drugi zadatak je "interesantniji" kad ste se uhvatili toga a za njega ne znam rjesenje pa ne znam ni "smjenu".

Cudan neki integral, ... sa kružmicom
Mora i da je neka jako interesantna smena.
Da znam resenje sigurno bih ga napisao, a ovako malo me mrzi da se udubljujem u problem, pa sam siguran da ce to neko ko zna iz prve

@h4su

Ma, ne smeta mi nista, samo sam hteo da pokazem kako "moc smene" moze da zavara.

Evo jednog zadatka za ljubitelje matematike sa viškom slobodnog vremena:

Dokazati da za svaki prirodan broj važi

.

Evo slicnog zadatka

Ako su kvadratne matrice istog reda pokazi da vazi relacija



gde je