Nisam nikad radio sa Tex-om, ali mislim da će biti jasno i ovako (ima i attached grafik koji sam skicirao u Paint-u).

Početnu "jednakost" modifikujemo tako što primenimo LN na obe strane i dobijamo:

ib * Ln( (ia - 1) / (ia + 1) ) = -2b arcctg (a) (***)

Ovde može da se skrati b sa obe strane (naravno samo ako je b<>0, a ako je b=0 jednakost očigledno važi bez dokazivanja (1=1))

Posmatramo samo ovaj Ln. Brojilac i imenilac razlomka koji je pod Ln-om su kompleksni brojevi i prikazani su na grafiku koji sam prikačio.

L = Ln ( (ia - 1) / (ia + 1) )

[att_img]

Sa grafika se vidi da je

ia - 1 = -1 + ai = e^(i*(PI-alpha)) = (e^i*PI) * (e^(-i*alpha)) = -e^(-i*alpha), jer je e^i*PI = -1)
ia + 1 = 1 + ai = e^(i*alpha))

posto je

ctg(alpha) = cos(alpha) / sin(alpha) = 1/a
ctg(PI/2 - alpha) = a / 1 = a (ovo nas zanima)

imamo da je

alpha = PI/2 - arcctg(a)

Pa sledi

L = Ln (-e^(-i*alpha)/(e^(i*alpha)))
L = Ln (-e^(-2i*alpha))
L = Ln (-1 * e^(-2i* (PI/2 - arcctg(a))))

Znajući da je -1 = e^(i*PI), imamo

L = Ln (e^( i*PI - i*PI + 2i*arcctg(a) ))

Pošto je Ln(e^x) = x, dalje imamo

L = 2i*arcctg(a)
L = i * 2arcctg(a))

Da se vratimo na početak (***) kad smo skratili "b"

i * i * 2arcctg(a) = -2 arcctg (a)

što je i trebalo dokazati.


P.S. Imam 2 sitne greške na grafiku

U tačkama koje označavaju kompleksne brojeve...

... umesto -1 + a treba da piše -1 + ai

... umesto 1 + a treba da piše 1 * ai

Ma, tako je!

Puno hvala na pomoći.