[ Nedeljko @ 25.01.2009. 12:59 ] @
| Data je funkcionalna jednačina f(x2+f(y))=y+(f(x))2 nad skupom realnih brojeva. Stavljajući da je x=0 lako se zaključuje da je f bijekcija R na R. Da bih dokazao da je f(x)=x za svako x, dovoljno mi je da znam da f ima barem jednu fiksnu tačku y, jer se stavljajući da je x=0 dobija da je f(0)=0. Zatim se pokazuje da je f neopadajuće preslikavanje. Zaista, neka je a<b. Tada postoje x,y takvi da je 02+f(y)=a, x2+f(y)=b, pa je f(b)=f(a)+(f(x))2, odakle je f zaista neopadajuće. Pošto je f 1-1, zaključujemo da f raste. Iz f(f(y)=f(02+f(y))=y+(f(0))2=y, pa se iz uslova da je f rastuće i f(f(y))=y lako zaključuje da je f(y)=y za svako y. Dakle, jedino mi treba dokaz da f ima bar jednu fiksnu tačku da bih kompletirao zadatak. Eto, napisao sam dokle sam stigao, da mi Bojan ne bi obrisao pitanje. |