kako dati nekom trecinu/cetvrtinu/petinu lubenice a da je ne iseces?

[/quote]

kako dati nekom trecinu/cetvrtinu/petinu lubenice a da je ne iseces?[/quote]

vezze nemam, uopste ne kontam zadatak to sam procitao negde...pa samo prekucao vamo, da vim da li ko zna!

pozdrav

Zadatak je jako lep, resio sam ga, ali necu jos da zurim sa objavljivanjem resenja, da svi mogu da pokusaju. Ako imas npr. 11 lubenica, i neko uzme 4, to ti je trecina svih + trecina jedne (11/3+1/3=4), tako se prodaju bez secenja.

Baciš je na zemlju da se razbije. :)

--
“Paranoia is the delusion that your enemies are organized.”

Ja samo da primjetim.Preteške su ti lubenice za obična zaprežna kola!
Ja riješio ali , kao i Bojan , malo da sačekamo pa ćemo onda razglabati
koja metoda je najelegantnija.

broj_lubenica >= 1000

Tu je i uslov da se lubenice prvo prodaju u tucetima, a nakon toga po 13 komata.

Dobije se neki sistem i reši.

Ne kazah sada nešto naročito pametno, al trenutno nemam vremena da radim kompletnu postavku zadatka.

Prije oko 4000 godina neki Grk Nikomakus izmislio je ovakvu zagonetku:
Zamisliću jedan broj od 1 do 100 a zatim saopštiti ostatke pri djeljenju tog
Broja sa 3;5 i 7.Treba pogoditi koji je to broj.

1000 godina kasnije neki arapski pjesnik Petrae dao je rješenje ove zago-
netke u stihovima.Kad se ovi stihovi prevedu u matematički zapis ispada:
x=(70*os(3)+21*os(5)+15*os(7))mod(105)
______________________________________________________

Ovaj zadatak sa lubenicama je istog tipa.Računajući postepeno šta ostaje u
kolima (cijeli broj) zaključimo da X pri djeljenju sa: 2,3,4,5i65 daje ostatke:
1,2,3,4i4.Sredim malo pa ispada:
Ostaci pri djeljenju sa 3 , 4 , 5 i 13 su 2 , 3 , 4 , i 4.Odatle slično kao i
Petrae:
X=(520*0S(3)+585*OS(4)+156*OS(5)+300*OS(13))MOD(780)
Uvrstim ostatke i dobijem najmanji broj lubenica. X=719 lubenica.
Ali pošto se traži broj veći od 1000 (ne znam što je sa ovim kvaren ovaj
fini zadak?) X(1)=X+780=1499 lubenica.

Pošto na kraju ostaju 23 hrpe po13 lubenica onda je ukupna zarada
$=(1499-23)*10/12=1230.(km)
_____________________________________________________
Treba li malo objašnjenja? 780=3*4*5*13 (umnožak svih djelioca)
Koeficijenti uz ostatke :520 je djeljiv sa 4,5 i 13 , a sa 3 daje ostatak 1.
Tako slično i ostali.
Djelioc 2 sam izostavio jer je sadržan u djeliocu 4 , a slično i 65=5*13
Pa uzimam samo 13.Ako treba još šta , pitajte.

Ja baš nešto i ne volem lubenice, a pivo može ponekad.

Grešiš, ovaj, grešiš silno sinko
Naime, izostavio si činjenicu da su lubenice prvo prodavane na tuca (12 komada). Prema tvom rešenju, prvi je uzeo 1499/2+1/2=750 lubenica, što očigledno nije umnožak broja 12.

Ako se tuce ne odnosi samo na način obračuna onda ću i to dodati.

Iz količina koje su kupili nakupci , a svaka je djeljiva sa 12 ispada:
-X podijeljeno sa 24 daje ostatak 23
- Sa 72 daje 71
-Sa 144 daje 143
-Sa 240 daje 239 ostatka.
Sredim ovo sa onim predhodnim ostacima pa ispade:
Xmod 16=15
Xmod 13=4
Xmod 9=8
X mod 5=4 .Napravim Petrae formulu X=(5616*OS(5)+2080*OS(9)+5760*OS(13)+
+5265*OS(16))mod 9360 . Opet ispade X=719

Pošto se sva ostala rješenja mogu izračunati :X(i)=X+i*9360 (i je cjeli br.)
Sada je prvo sledeće rješenje X(1)=10 079 lubenica.

Primjedba:Ne mogu konji povući toliku zapregu.Tu ima nekih 60-70 tona tereta.

po meni malo drukcije

1000-500,5=499,5 500,5:12x10=466,6666DM

499,5-(499,5:3+0,333)=I tako u beskrajno

Na kraju je rezultat 822,222DM

[Obrisao Farenhajt - greška u računu, prethodno rešenje je tačno]

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 29.12.2005. u 18:12 GMT+1]}

Seljak je obrao bostan i svoja zaprezna kola napunio sa najmanje 1000 lubenica pa se uputijo na pijacu prvi nakupac kupi od njega polovinu svih lubenica i jos polovini jedne lubenice. Drugi uzme trecinu preostalih lubenica i jos trecinu jedne lubenice. Treci otkupi cetvrtinu preostalih lubenica i cetvrtini jedne lubenice. Cetvrti, pak uze petinu preostalih lubenica i petinu jede lubenice. - Cena? Lubenice je prodavao na tuce (12 komada) po 10km tuce. - Tako je prodao sve lubenice? Ne. Preostale lubenice je prodao tako sto je od njih prvo slozio gomile od po 13 lubenica, a zatim svaku takvu gomilu prodao za 10km. - Pitanje je?
Koliko novaca je seljak dobio za lubenice ako pri prodaji nije isecena ni jedna lubenica..




Ovo je pogrešno rješenje.


_{[Ovu poruku je menjao zzzz dana 05.05.2019. u 00:52 GMT+1]}

Nije ako u početku sve lubenice moraju biti umnožak broja 12, odnosno jednostavnije je postaviti da preostale lubenice mogu da se slože i po 12 i po 13.
Međutim, to je kontradikcija, jer početni broj lubenica je neparan i oblika (2n + 1), tako da prvi nakupac uzima polovinu (n+1/2) i još polovinu lubenice (ukupno: n+1).


Dakle, ne može polazni broj lubenica biti deljiv sa 12, pa je rešenje da je u pitanju 10079 lubenica tačno, tj.

na početku: 10079 lubenica
1. nakupac: 5040 [420x12], ostalo 5039
2. nakupac: 5039/3 + 1/3 = 1680 [140 x 12], ostalo: 3359
3. nakupac: 3359/4 + 1/4 = 840 [70x12], ostalo: 2519
4. nakupac: 2519/5 + 1/5 = 504 [42x12], ostalo 2015 [155x13]

Ukupno novca: (420 + 140 + 70 + 42) * 10 + 155 * 10 = 8270 KM.


Tačan odgovor: zarada na lubenicama je 8270 KM :)

Broj x=719+k*780*12,te za k=1, x=10079 jeste ispravan,ali prikazani postupak je netransparentan i može odvesti na krivi rezultat.Traženje broja x ne valja pa ću to napraviti na bolji način.

prvi kupac je uzeo (x+1)/2 .... Ostalo (x-1)/2
drugi kupac je uzeo (x+1)/6 .... Ostalo (x-2)/3 (nakon sređivanja razlomaka!)
treći kupac je uzeo (x+1)/12 .... Ostalo (x-3)/4
četvrti kupac je uzeo (x+1)/20 .... Ostalo (x-4)/5
--------------------------------------------------------

Iz navedenih ostataka,a koji su prirodni brojevi, nađemo ostatke pri djeljenju x sa 2,3,4,5 i 13

(X-1)mod2=0....xmod2=1 (ako (x-1)/2 nema ostatka,onda x/2 ima ostatak 1)
(X-2)mod3=0....xmod3=2 I t d
(X-3)mod4=0....xmod4=3
(X-4)mod5=0....xmod5=4
(x-4)mod13=0..xmod13=4 (Posljedni ostatak je djeljiv i sa 13)
--------------------------------------------------------
Ostatak pri djeljenju sa 2 je definisan ostatkom pri djeljenju sa 4 te se može izostaviti iz daljnjeg računa.Pa imamo za djelioce 3,4,5 i 13 ostatke 2,3,4 i 4.

Iz ovih podataka se može pronaći najmanji prir. broj koji zadovoljava te uslove.Može grubom silom jednostavnim algoritmom naprimjer u excel-u,ali ja ću prikazati jedan satri algebarski metod.

N=3*4*5*13=780 je djeljiv bez ostatka sa svakim od danih djelioca.

x se može prikazati sa četiri sabirka.Tri djelioca djele sabirak bez ostatka.Četvrti pravi zadani ostatak.I tako iskombinujemo pa dobijemo da samo jedan sabirak za svaki djelioc daje traženi ostatak.Ili ovako.Jedan djelioc daje (svoj) ostatak samo kod jednog sabirka.Ostala tri su djeljiva sa njim.

Za konkretan slučaj
x=(3*4*5)*5*(4)+(3*4*13)*( )*(4)+(3*5*13)*( )*(3)+(4*5*13)*( )*(2)

U prvom sabirku sam 60 pomnožio sa 5 da bi ostatak pri djeljenju sa 13 bio 1.
Množenjem sa 4 imam ostatak 4 samo kad djelimo sa 13.Tako ćemo za drugi sabirak imati 1,za treći 3 i za četvrti 2

Izračunam x=1200+624+1755+1040=4619 ..ovaj broj daje tražene ostatke ze date djelioce.Ako od tog x oduzmemo više puta N,opet će ostaci biti isti.Najmanji prirodan broj je 4619-5*N=719.Sada treba ostvariti i uslov da su prva četiri kupca uzeli broj lubenica djeljiv sa 12 bez ostatka.Da ne rastegnem previše,neka to ide u sledeću poruku
pošto sad idem na pivo.

Nastavak: Za x=719+k*780 (k je cijeli broj) vrijedi da pri djelenju sa 3,4,5 i 13 daje ostatke 2,3,4 i 4.
Ali u zadatku se traži još nešto osim toga.Broj lubenica kod svakog od prva 4 kupca je djeljiv sa 12.

(x+1)/2
(x+1)/6
(x+1)/12
(x+1)/20
Svaka od ovih količina je djeljiva sa 12.Odmah vidim da ako vrijedi za trećeg kupca to vrijedi i za prvog i drugog.

Uvrstimo x pa imamo:

(720+k*780)/12=60+k*65
(720+k*780)/20=36+k*39
---------------------------------
Treba naći k pa da oba broja lubenica budu djeljiva sa 12
(60+k*65)mod12=0
(36+k*39)mod12=0
-------------------------
(k*5)mod12=0
(K*3)mod12=0
-------------------------
3 i 5 su relativno prosti pa k može biti 0,12,24 itd.
konačno X=719+12*780=10 079

Ja sam pisao nešto tako po papirićima, koje sam jutros bacio, ali sam krajnji uslov rešio pomoću Wofram Mathematica.

Ovaj zadatak se može jednostavno rešiti ko zna matematiku, ZZZZ je dao postupak koji je do one priče o algoritmu u redu, ali posle može efikasnije da se uradi nekim matematičkim softverom.


Međutim, sinoć kasno nisam bio raspoložen za višu matematiku, pa sam zadatak rešavao kao što bi to uradio neko u osnovnoj školi, i to u 5. ili 6. razredu.


Zbog jednostavnosti, neka na početku ima 2n+1 lubenica (pošto očigledno mora biti neparan broj).

Prvi kupac: (2n+1)/2 + 1/2 = n + 1 (kupio n+1); ostalo n
Drugi kupac: imalo n = 3k + 2, kupio (3k + 2)/3 + 1/3 = k + 1; ostalo 2k + 1
Treći kupac: imalo 2k + 1 = 4m + 3, kupio (4m + 3)/4 + 1/4 = m + 1; ostalo 3m + 2
Četvrti kupac: imalo 3m + 2 = 5x + 4, kupio (5x + 4)/5 + 1/5 = x + 1, ostalo 4x + 3

Broj 4x + 3 mora biti deljiv sa 13, a broj x + 1 sa 12 (broj lubenica koji je kupio poslednji nakupac). Takođe, zanemarivanjem onih razlomaka, posle četvrtog nakupca ostaje otprilike približno 20% lubenica (da ne pišem sve detaljno, na primeru 120 lubenica, prvi kupac uzme 60, drugi 20, treći 10 i četvrti 6, što je 96, a ostane 24 što je 20% od 120). Kako je ukupno više od 1000 lubenica, znači da posle četvrtog kupca ostane približno više od 200 lubenica zbog onih razlomaka ako bi polazni broj bio 1001 lubenica, tako da ova dva uslova možemo proveravati za x >= 49. Ovi uslovi nisu dovoljno, jer treba i uslove za broj lubenica kupaca 1-3 uzeti u obzir, tj. preračunati n, k, m preko x, ali videćemo da su ova dva uslova dovoljna da se dođe do rešenja.

U Wolfram Mathematica koristimo FindInstance i nađemo rešenja za npr. x između 49 i 600:

i dobije se:


Ovo ne mora biti rešenje (jer treba da budu zadovoljene i jednačine po m, k i n u smislu deljivosti broja lubenica sa 12), ali proverom se dobija da je to rešenje (inače, ko ima vremena, može da odredi uslove i za broj lubenica prva tri kupca tako što će m, k, n izraziti preko x):

x = 503
Ostalo nakon 4. kupca: 4*503+3 = 2015
4. kupac kupio: x+1 = 503 + 1 = 504, pre njega bilo: 3m+2 = 5x+4 = 5*503+4 = 2519 => m = 839
3. kupac kupio: m+1 = 839 + 1 = 840, pre njega bilo: 2k+1 = 4m+3 = 4*839 + 3 = 3359 => k = 1679
2. kupac kupio: k + 1 = 1679 + 1 = 1680, pre njega bilo: n = 3k+2 = 3*1679+2 = 5039 => n = 5039
1. kupac kupio: n + 1 = 5039 + 1 = 5040, pre njega bilo: 2n + 1 = 2*5039 + 1 = 1079.


Ispravno bi bilo u "FindInstance" uzeti u obzir i uslove za prva 3 kupca, tj. izraziti n, k, m preko x, u ovom slučaju bi se dobilo isto da je x=503, međutim u nekom drugom slučaju možda ovo x ne bi bilo rešenje, pa bismo morali da nađemo neko sledeće za veće x i ponovo proveravamo...

Dakle, ovo je rešenje koje bi bilo jasno i nekom osnovcu (osim možda one funkcije u Wolfram Mathematica), bez priče o modularnoj matematici.



U uslovima koje je dao "ZZZZ" u prethodnoj poruci nedostaje i uslov da je x+1 deljivo sa 12 (onda je deljivo sa 2 i 6, tako da je taj uslov nepotreban) kao i sa 20 (već je deljivo sa 12, što znači sa 4, pa je dovoljno uzeti da je deljivo još i sa 5), što je broj lubenica koje su kupili kupci 1-4.

Ako se ne uzmu ovi uslovi, Mathematica pronalazi rešenje x = 1499 (da nema uslova da lubenice koje su kupili nakupci 1-4 mogu da se spakuju u gomilice po 12, ovo bi bilo rešenje, čak i ostatak može da se spakuje na gomilice po 13).



Međutim, nešto nije u redu sa dodatnim uslovima, jer takođe pronalazi i rešenje x = 5399.




Sad me već bole oči, ali ako "ZZZZ" može da predloži koji je uslov potreban u FindInstance da bi odmah rešenje bilo 10079 čak i ako opseg pretrage za x obuhvata i rešenje 5399.

@mjanjic,Mladen Janjić,Šikagou

"U Wolfram Mathematica koristimo FindInstance"
Nisam radio sa tim programom,ali sam gotovo siguran da se u njemu događa nešto slično kao što sam ja pješke radio.Ja sam neke nepotrebne uslove ignorisao radi manjeg obima posla.Naravno da je tu moguć kiks.Za Wolfram Mathematica nema potrebe nešto joj pomagati.Bolje je strpati sve uslove pa makar neki bili suvišni.

Naprimjer ovako: (x je broj lubenica na početku)

a=(x+1)/2 je djeljivo sa 12 bez ostatka
b=(x-a+1)/3 je djeljivo sa 12 bez ostatka
c=(x-a-b+1)/4 je djeljivo sa 12 bez ostatka
d=(x-a-b-c+1)/5 je djeljivo sa 12 bez ostatka
e=(x-a-b-c-d) je djeljivo sa 13 bez ostatka
x>1000

Ako sam razabrao "gramatiku" za WM to bi možda izgledalo ovako:

FindInstance[Mod[a , 12] == 0&& Mod[b , 12] == 0&& Mod[c , 12] == 0&& Mod[d, 12] == 0&& Mod[e , 13] == 0,a=(x+1)/2 ,b=(x-a+1)/3,c=(x-a-b+1)/4,d=(x-a-b-c+1)/5,e=(x-a-b-c-d), x>1000, Integers]

....Možda treba staviti Integers i za a,b,c,d,e ?




_{[Ovu poruku je menjao zzzz dana 06.05.2019. u 16:29 GMT+1]}

Ne, za a, b, c, d, e sređivanjem dobiješ iste uslove koje si dao ranije, negde drugde je problem. U tvom rešenju se pojavljuje na kraju ono "k" koje može biti 0, 12, 24, ..., i rešenje je x = 719 + 780*12, dakle uslov iz koga se to dobija nigde nije naveden u "FindInstance", a to je navedeno negde u tvom ranijem odgovoru u onoj priči o arapskom pesniku, međutim ne znam odakle ta jednačina, ovih dana sam zatrpan obavezama pa ne bih imao vremena da to detaljnije pogledam, a na studijama nismo radili ovu oblast (Diofantove jednačine, kineska teorema o ostacima i sl.) tako da bih morao da pročitam dosta neke teorije za koju nemam vremena.
Pitaću neke kolege kojima je ovo "mačji kašalj" :)

Evo da još malo pojasnim ovaj dio gdje prva 4 kupca imaju količine djeljive sa 12.



Mogao sam naći x ne koristeći ostatak pri djeljenju sa 13.Tada bi bilo x=59+k*60,
Kad to uđe u igru imamo:
(5+k*5)mod12=0
(3+k*3)mod12=0,ali još i (59+k*60)mod13=4
Da skratim ovu verziju:Najmanji k je 11,a sledeći 167 itd koji zadovoljavaju ova 3 uslova.

Neka je s broj lubenica.

Prvi nakupac je kupio polovinu lubenica i još polovinu jedne, dakle (s + 1) / 2 lubenica.

Drugi nakupac je kupio trećinu ostatka i još trećinu jedne, dakle (s + 1) / 6 lubenica.

Treći nakupac je kupio četvrtinu ostatka i još četvrtinu jedne, dakle (s + 1) / 12 lubenica.

Četvrti nakupac je kupio petinu ostatka i još petinu jedne, dakle (s + 1) / 20 lubenica.

Pošto je ostale lubenice prodao u paketima po trinaest lubenica, postoji k ∈ N tako da važi:

(s + 1) / 2 + (s + 1) / 6 + (s + 1) / 12 + (s + 1) / 20 + 13k = s (1)

Pošto su lubenice prodavane cele, svaki od sabiraka u prethodnom zbiru na levoj strani jednakosti je prirodan broj.
Odavde zaključujemo da je s+1 deljivo sa 2, 6, 12 i 20.
Pošto su nakupci kupovali lubenice u paketima po 12, svaki od prva četiri sabirka je deljiv sa 12.
Odavde zaključujemo da je s+1 deljivo sa 24, 72, 144 i 240.
Imamo da je NZS(2, 6, 12, 20, 72, 144, 240) = 720, odakle dobijamo da je s + 1 = 720p (2), za neko p ∈ N.
Sređivanjem jednakosti (1) dobijamo da važi s = 65k + 4, odnosno s + 1 = 65k + 5.
Sada zamenom u (2) dobijamo da važi 720p = 65k + 5, odnosno posle sređivanja 144p = 13k + 1.
Posle kraćeg sređivanja dobijamo da važi 13(k − 11p) = p − 1.
Očigledno, 13 deli p − 1, pa je p = 14(najmanje takvo).
Sada zamenom u (2) dobijamo da važi s + 1 = 720 *14, odnosno s + 1 = 10080, odakle dobijamo s = 10079.
Lako se dobija da je k = 155.
Prvi nakupac je kupio 5040 lubenica, drugi 1680, treći 840, a četvrti 504, što daje 8064 lubenice.
Ostatak od 2015 lubenica seljak je prodao u 155 paketa, svaki po 13 lubenica.

_{[Ovu poruku je menjao Bradzorf012 dana 07.05.2019. u 09:33 GMT+1]}

Tako je to kad postoji "kratak spoj" pa se ne vidi očigledno, napravio sam minimalan set uslova, ali konstantno dobijam rešenje 9359 i ne vidim gde je greška, na kraju skontao da ostatak koji se prodaje u setovima po 13 lubenica nije (s+1)/5, već (s+1)/5 - 1, jer kad se sabere ono što su kupili nakupci u paketima po 12 lubenica, dobije se 4(s+1)/5 = s*4/5 + 4/5, pa je ostatak s - s*4/5 - 4/5 = s/5 - 4/5 = (s+1)/5 - 1.

Dakle, izraz preostali broj lubenica je (s+1)/5 - 1 i on mora biti deljiv sa 13, odnosno kad se sredi, dobije se da "s" pri deljenju sa 65 daje ostatak 4 (odnosno, s+1 pri deljenju sa 65 daje ostatak 5, pošto su i drugi uslovi za deljenje vrednosti x+1).

Wolfram Mathematica:


Dakle, uslov je da broj lubenica daje ostatke pri deljenju sa 65, 144, 240 redom: 4, 143, 239.
I naravno, da je broj lubenica veći od 1000 (ako nema tog uslova, rešenje je 719).


Toliki problem stao u 4 jednostavna uslova :)

Ko ne želi mozgati,može koristiti najjednostavniju metodu kao na slici.
Ovaj blok dijagram se lako može napisati u Excelu.

Čak sam bio toliko lijen da nisam koristio početno x=999,i korak x= x+2.