Ako je pitanje "nađi izvod date funkcije"?, onda:

Ti si izvod našao. Samo ga napiši alternativno kao i funkciju.
Vrednost izvoda za x=0 jeste jednaka nula.



Ako je pitanje "da li je diferencijabilna za X=0"?, onda:

Zbog parnosti člana -2*cos(1/(x^2)) koji jedini ne teži nuli u limesu izvoda kada x teži 0, levi i desni limes su jednaki.
Ali su oba neodređena.
Vrednost izvoda za x=0 jeste jednaka nula.
Oba limesa jesu jednaka ali ne zna se koliki su.
Tako da...Ne znam.

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 22.12.2009. u 01:23 GMT+1]}

Hmm... Ako funkcija ima izvod u datoj tacki, onda je ona diferencijabilna u toj tacki, zar ne? Tako da mislim da se ne mogu odvojiti ta dva pitanja...

Upravo to je i problem... Recimo da definisemo izvod date funkcije kao:



Tada, kako



Ne postoji, slijedi da funkcija izvoda ima prekid za x = 0. (Ili je to pogresan zakljucak?)

Ako izvod ima prekid u nekoj tacki, zar to ne znaci da tada funkcija nije diferencijabilna u toj tacki?

Tooo! Konačno malo „prave“ Analize.

Prvo, ova funkcija je neprekidna. Da li je i diferencijabilna? Izvod ove funkcije „podivlja“ u okolini nule („divlja“ i van te okoline, ali značajno manje — čitaj: „divljanje“ je konačno), što se da videti kada se nacrta njen grafik, npr. u programu Matematika.

Problem je „dodefinisavanje“, jer se pri računanju izvoda fiksira tačka za koju se računa izvod. Funkcija bez dodefinisavanja nije diferencijabilna u nuli, jer joj izvod nije ograničen. Sa dodefinisavanjem, jedino dobiješ dodatnu zabunu jer ti odjednom izraz za levi i desni limes postanu nula u nuli.

Poenta: niko nije rekao da i izvod mora da bude neprekidan.



Funkcija je neprekidna (na celom svom domenu), diferencijabilna je u nuli, i izvod postoji u tački nula, kao i van nje, ali nije neprekidan.

Case closed.

_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 22.12.2009. u 19:58 GMT+1]}

Vrste prekidnosti neke f-je su:

- OTKLONJIV PREKID: ako su levi i desni limes konačni i jednaki. Onda se može dodefinisati i biti neprekidna ta nova doddefinisana.
- NOTKLONJIV PREKID: ako su levi i desni limesi konačni i nisu jednaki.
- VERTIKALNA ASIMPTOTA: ako je bar jedan limes beskonačan

Mislim da je Čabo u pravu 100%.
Iako ih ne znamo (oba limesa "divljaju") znamo da su između sebe jednaki zbog parnosti i konačnosti "spornog" člana -2*cos(1/(x^2)).
OTKLONJIV PREKID.

Dosta dobar primer.
Tosgin: je li ovo sa matematičkog fakulteta ili nekog tehničkog?

Da funkcija nije dodefinisana, uopste ne bismo mogli traziti izvod u nuli jer ne bi pripadala domenu funkcije.

Nekako mi je tesko prihvatiti da je izvod definisan sa

samo iz razloga sto je izvod takodjer funkcija. Da bi dodefinisali funkciju u nekoj tacki , zar ne mora da bude:

te se tada funkcija dodefinise kao:

U ovom slucaju taj limes ne mozemo naci, tako da ne razumijem kako mozemo pisati da je vrijednost funkcije (tj. izvoda) u nuli -- nula.

Da li ovo znaci da izvod ima prekid u nuli ili 'van nje'... Ne vidim kako bi se prekid mogao naci negdje drugo, a ako je u nuli, onda funkcija nema izvoda u nuli... :S

Cini mi se da se samo vrtim u krug, ovdje, te da mi fali neki teoretski dio, ali sve sto sam nasao da ima veze sa prekidima izvoda je bila teorema o tackama prekida izvoda (i njene posljedice) ali se ona ne odnosi na ovu situaciju... Ako bi me neko mogao uputiti u pravom smjeru bio bih zahvalan.

[Edit]

Postao si dok sam ja pisao... ;)

Eh, pa upravo to je stvar... mozemo zakljuciti da je prekid otklonjiv, ali ne znamo koja mu je vrijednost, te samim tim ne mozemo znati ni vrijednost izvoda u tacki nula? :D

I, ne, nije matematicki fakultet, vec elektrotehnicki.

Tačno. A osim toga, izvod se sve „brže“ menja što je vrednost argumenta bliža nuli.



Mora, ali ne mora da bude i . Dodefinisana je funkcija , a ne funkcija .

Ovo je jedan od primera funkcije, koja je diferencijabilna na celom R, ali izvod nije neprekidan. Da, funkcija jeste diferencijabilna u nuli, to jest, izvod postoji na celom R, pa i u nuli. f' jeste definisano u nuli, ali nije neprekidno u nuli.

Tosgin: je li ovaj zadatak sa kolokvijuma/pismenog/usmenog ili ti samo vežbaš?

Savo izvini.
Svo vreme sam mislio da je Čabo.
Prošarao si latinicu i ćirilicu.

Da, shvacam sada... Prakticno se cijeli moj problem sveo na to da nisam znao da izvod funkcije moze imati prekid, a da je funkcija diferencijabilna na cijelom domenu... Hvala svima koji su odvojili vrijeme da ovdje odgovore.

@miki069; Ovo je bio dio zadatka za domacu zadacu.

Dodefinisanje bilo koje funkcije bilo kojom vrednošću u bilo kojoj tački u kojoj nije definisana je potpuno ispravna matematička konstrukcija. N aprimer, g(x)=1/x za x iz R\{0}, g(0)=17. Druga je stvar što funkcija g nije neprekidna, pa samim tim ni diferencijabilna u nuli.