Svedi ga linearnom smenom na . E, sad parcijalna integracija integrala sa , daje

.

Dakle,

.

Stavi i snizićeš stepen.

Mislim da bi bilo uputno postaviti kao „lepljivu“ temu jedan spisak najčešćih pitanja (mislim na trivijalna pitanja koja bi trebalo da budu deo normalnog matematičkog obrazovanja).

Evo, na primer, ovde je po ko zna koji put postavljeno pitanje o integralu racionalne funkcije. I po ko zna koji put, kažem: Ljudi, čitajte Apsena! U toj zbirci su taksativno nabrojani svi slučajevi integrala racionalne funkcije i kako se rešavaju. Ko i posle Apsena bude imao problema sa tom vrstom integrala, stvarno treba da se zamisli.

A drugi put, kažem i ovo: postoji teorema koja kaže da su svi integrali racionalne funkcije rešivi.

Nažalost, ne postoji lakši način koji mi pada napamet.
Mislim, ovo je prilično standardan integral, smene su standardne, jedino ima puno riljanja.
Evo kako sam ga ja rešio:

Dopuna do punog kvadrata

Smena



Smena



Odavde

Kako je

to

pa kad zamenimo u integral i sredimo

se može predstaviti i kao , stoga

Smena


Integral postaje



Kada vratimo sve smene i sredimo (mrzi me da ispisujem taj deo :) dobijamo rešenje


Podseti se trigonometrijskih identiteta pošto svođenje na smenu rešava boga oca integrala :D

EDIT:
U potpunostisam saglasan sa Savom XD

Preporučivati tako lošu knjigu zbog nečega što je objašnjeno u ama baš svakom udžbeniku? Ma, daj!

Slažem se, može biti i objašnjeno, ali kako, to je drugo pitanje. Očito nije dobro objašnjeno, čim se ljudi javljaju za pomoć. :-S

A možda nisu iščitali lekciju. Apsen ne uspeva ljudima ni tablične integrale da objasni, već samo da stvori lažan utisak da nešto znaju, a kad ih propitaš, vidi se da ni tablične integrale nisu razumeli.

Sad, to je više filozofsko pitanje. Može se dalje teoretisati da je udžbenik loš upravo zato što nije zainteresovao učenike da ga uzmu i pročitaju tu oblast (drugim rečima, podbacio je pedagoški, jer ne pruža motivaciju).

Sa druge strane, može se takođe reći i da spartanski način obrazovanja na određeni način „čeliči“ učenike, čineći ih samostalnijim. Samo, onda se javlja niz problema druge vrste. I tako dalje, i tako bliže.

Ipak, treba istaći da i Apsen postoji kao opcija, za one koji ne mogu da savladaju integrale uz pomoć druge literature.

Nedeljkovo rešenje je mnogo elegantnije.

Moše slično i da se krene od Integral(dX/(X^2+1)) koji je arctg(x) i da se on parcijalnom integracijom, na identičan način, dovede na traženi u 2 reda.

Cabo,

Čekaj, iz činjenice da se javljaju ljudi koji ne znaju integral racionalne funkcije zaključio si da je Apsen prosvetljujući? Šta ako su učili baš po njemu?



A jesu li probali? Znaš kako, ni iz jedne knjige koju ne pročitaju ih neće savladati. Ovde ispade da Apsen pomaže čak i ako ga ne čitaš.

Ne. Jednostavno, ljudi neće da se bakću sa Kadelburgovim rogobatnim dokazom teoreme, već hoće pregledno izložene gotove formule za bubanje, uz pomoć kojih se položi ispit.

Hvala svima!

Sve bi to bilo OK samo da su te formule tačne.

Bitan je i kontekst tih formula. Vidi samo šta se radilo na forumu za fiziku na temi o teoriji relativnosti. Sa druge strane, na ovom forumu je provereno koliko apsenovci razunmeju tablične integrale.

Ja bih tim bubalicama zadao na ispitu . Dao bih im takve zadatke, da sa nabubanim ne znam ni ja čime popadaju ko zrele kruške. Da vidiš kako će posle materija početi da ih zanima. Uopšte nije poenta u dokazima.

Kul, samo takve „banane“ imaju smisla na Matematičkom. Na višim školama i „nematematičkim“ fakultetima nemaju baš.

Takve stvari imaju smisla svuda gde je matematika potrebna, jer proveravaju elementarno razumevanje gradiva, a na ostalim mestima matematiku ne treba raditi uopšte. Kakav je smisao bubanja nečega što posle ne mogu da upotrebe, jer ne razumeju? Takve banalne stvari bi trebale da budu na obaveznom eliminacionom testu bez koga ne možeš na ispit.

Ako se misli na Apsenove repetitorije više matematike - čemu kritika Apsena?
Apsen jednostavno pokazuje postupak rada za rešavanje određene vrste poznatih
problema ne ulazeći u objašnjavanja jer to i nije cilj da se pokaže na svakom
konkretnom zadatku - cilj je da se korisnicima (koji znaju suštinu problema) na
formalan način omogući brzo i efikasno dolaženje do rešenja jer - na kraju krajeva -
od ispitanika se traži da reši zadatak, a ne da objašnjava princip izuzev na
usmenom delu ispita i to u principu.

Davao sam ja apsenovcima konkretne zadatke, koji se svode na direktnu primenu tabličnog integrala, a koje ne mogu da reše, jer ne razumjeju čak ni tablične integrale. Sa druge strane, mogu im dati i zadatke kod kojih će dobiti rešenja, ali numerički potpuno pogrešna, jer su učili po Apsenu.

cini mi se da bi ovdje neki iz upotrebe izbacili i logaritamske tablice i upotrebu digitrona, i tjerali studente i ucenike da traze to pjehe...... ako ti nedeljko pokusavas mene ubjediti da ce neko znati izracunati SVAKI integral jer zna njegovu definiciju, i jako ju je dobro shvatio, onda ti to nece poci za rukom... isto tako sa izvodima, isto tako sa limesima..... cilj apsena i jeste to, da oni koji fino nauce definicije, shvate ih, onda se bace na izradu stotine i stotine zadataka, razlicitih tipova.... jedan od 100 studenata ce uraditi integral parcijalnom integracijom a da samo zna definiciju integrala, njegovu sustinu, a NIKAD prije nije radio taj tip zadatka. tu je apsen da mu pokaze kako dalje (na par primjera), kad znas definiciju. nije apsen tu, da studente tjera da tehnike uce napamet, i same zadatke s rjesenjima. isto tako kreator logaritamskih tablica nije kriv sto neko ne zna sta je logaritam........ od neceg se mora poceti, bio to nastavnik/asistent pred tablom koji ce uraditi po par primjera, bio to apsen....

Pa nije za to kriv Apsen.

Ovde je već kriv Apsen ako im to konkretno i dokažeš!

@ Kolins Balaban

Radi se o direktnoj primeni tabličnog integrala. Nikakve lude smene i parcijalne ontegracije.

@ galet@world

A ko je kriv što se iz Apsena ne mogu razumeti ni tablični integrali?

Te tehnike iz Apsena su potpuno pogrešne. Ladno nema nikakvih uslova pod kojima se integral može diferencirati po parametru itd.

Kao što rekoh, za srednjoškolske i nematematičke (ekonomija, hemija...) primene uslovi nisu ni bitni.

A i Koši je svojevremeno mislio da se može diferencirati po parametru tek tako, bez ikakve provere. Džaba je bilo što su mu davali čak i kontraprimere, on nije hteo da odustane od ideje da uslovi nisu potrebni.

Nisu bitni samo onome kome ni rezultat nije bitan. Takvima ne treba nikakva matematika, pa ni Apsen.

Ti uslovi nisu idrkavanje matematičara, već esencijalni deo aparata koji je preduslov dobijanja ispravnog rezultata.

Meni je to, prirodno, jasno. Međutim, matematičarima generalno fali malo pragmatizma. Matematika jeste takva kakva je, ali nije potrebno da baš svi budu upoznati sa baš svim njenim delovima. Matematiku treba dozirati onoliko koliko je to potrebno u konkretnoj situaciji. Postoji više nivoa poznavanja rada sa integralima. Ako se zadaju zadaci kontrolisane težine i vrste, kao što je to slučaj u srednjoj školi, pri čemu ne pričam o Matematičkoj gimnaziji, već recimo o Ekonomskoj školi, onda nije baš potrebno da se dokazuje pod kojim uslovima se može diferencirati parametarski integral, jer to, jelte, ta deca sa velikom verovatnoćom nikada u životu neće ni raditi.

Ne znam šta je tebi jasno, ali očigledno ne razumeš ni matematiku, ni uslove, ni čemu oni služe. Jadan li je taj matematički fakultet koji ovako obrazuje studente. Kada budeš shvatio te uslove i njihovu svrhu, onda ćeš videti da oni postoje isključivo iz pragmatičnih razloga.

Nije potrebno da se dokazuje uopšte, jer je to odavno neko dokazao. Međutim, onome kome parametarski integrali ne trebaju parametarske integrale ne treba ni raditi i takvi ih i ne uče. Onome kome parametarski integrali trebaju, trebaće i uslovi (bez dokaza).

Tvoj je prednjak. Pobedio si, ja nemam dve veze sa mozgom.

Pametniji si, aferim!

Samo ne znam što se svi čude što propadaju reforme i što sva deca imaju kečeve u školama.

DODATAK: A kad ja budem profesor matematike (a biću, utata utata, ne možeš mi ništa! ) sigurno neću smarati decu raznim glupostima. Časna pionirska!

I neću davati kečeve da bih lečio svoje frustracije.

_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 13.01.2010. u 17:58 GMT+1]}

Pa, i nemoj da ih smaraš glupostima, jedino ako znaš šta je glupost. Čuveni stav - ako dva trougla imaju podudaran par uglova par podudarnih stranica suprotnih tim uglovima i još jedan par podudarnih stranica, onda su ti trouglovi podudarni. Svi dodatni uslovi su gluposti. Pa, valjda se zna da je kod svakog četvorougla proizvod dužina dijagonala jednak zbiru proizvoda dužina suprotnih stranica. I prave koje presecaju ugao uvek sa njim grade slične trouglove. Ko drugačije kaže, blebeće i laže.

E, da, nemoj deci raditi parametarske integrale. Samo se drži nastavnog plana i programa.

Nije da nemaš veze s vezom, ali matematiku zaista ne razumeš.

Ma, ja sam obična budala...

... ali, budala kojoj će uskoro pisati na diplomi:

Diplomirani matematičar — profesor matematike i računarstva!

AHAHAHAHAHAHHAHAAA!!!

Kako da ti kažem, i na tarabi svašta piše.

Dok sam ja studirao matematiku (u Beogradu) uveli su taj L smer, tj "profesorski".

Ja se baš ne bih hvalio među matematičarima da sam taj smer završio.

Diplomirani MATEMATIČAR.

Ljubomora je čudo.

Stvarno ne razumem ljude koji pisu gluposti da neko treba da se razvaljuje fuckin matematikom! Cemu to?
Sta ce meni uopste integrali u zivotu, a pogotovo da ulazim u neka dublja sranja(ekonomija)?
I da,neko rece da u srednjoj ekonomskoj se manje rade integrali.Ne,ne rade se uopste! I onda ja dodjem na ekonomski i oni ocekuju da ja znam neke stvari koje prvi put vidim u zivotu! Molim vas...

Tačno. Mada, sve to ima i drugu stranu, koju oni koji su na „učeničkom kraju“ nastavnog procesa ne vide.

Ukratko, nije toliko bitan sam sadržaj matematike, koliko činjenica da na određen način koristiš određene vrste „malih sivih ćelija“, kao i to da se učiš disciplini i stičeš radne navike.

Ali, po mom mišljenju, ne treba ulaziti u krajnosti, ni u jednom, ni u drugom smeru, već treba, kao i u svemu drugome u životu, uspostaviti balans.

Nije ljubomora nego ne vidim čemu hvalisanje završenim najlakšim smerom na matematičkom fakultetu u ovom forumu.

To je kao da neki naš fudbaler koji dodje u italijansku ligu i pocne da se hvali kako je došao iz srpske lige.

_{[Ovu poruku je menjao AstroDule dana 14.01.2010. u 16:42 GMT+1]}

Evo, crkoh od ljubomore što nisam završio ono što ti uskoro završavaš.

E, vidiš, ja se slažem sa tobom, a ne sa Cabom. One stvari koje nisu potrebne ne treba ni raditi, a one koje su potrebne treba raditi tako da to bude upotrebljivo. Cabov "balans" se svodi na to da se nešto uči tako da stečeno znanje bude praktično neupotrebljivo, ali tako da ekonomistima trenira "male sive ćelije". Ja ne mislim da matematičari treba ekonomistima da treniraju iste. Neka im ih treniraju ekonomisti. Ima sasvim dovoljno ekonomskih predmeta za sticanje radnih navika itd.

<sub>Bojan Bašić: uklonjeni delovi koji se odnose na izbrisane poruke.

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 16.01.2010. u 00:57 GMT+1]</sub>

Pa, kada neko dobije isto toliko prava da se zaposli kao i vi sa „teškim“ diplomama, pa vam bude krivo to se na srpskom zove ljubomora. Ko vam je kriv što se niste prebacili na profesorski kao sav pametan svet.

Da, upisao sam se na profesorski jer ima najmanje ispita. I da, dobiću zvaničnu titulu matematičara, istu kao i vašu. Smerove niko od poslodavaca ne gleda, osim (ali možda, i to veoma nategnuto „možda“) ako hoćeš da budeš profesor na matematičkom. Inače, to se uopšte ne gleda.

Kada vi budete ministri prosvete i dekani matematičkog, onda ćete imati pravo da se bunite i nešto da menjate. Do tada, isti smo što se tiče zapošljavanja.

A inače, ja mislim da profesorski smer ima daleko teže ispite sa prve dve godine, iako su na papiru isti. Baš nas posebno muštraju zato što smo kobajagi „laki“, pa je naša šestica kao devetka kod „računaraca“ na istom ispitu.

Ne, nećeš biti isti što se tiče zapošljavanja. Probaj sa tom diplomom da se zaposliš bilo gde osim u školi, npr. na fakultetu (bilo kom gde je matematika usko stručni predmet, tj. postoji obaveza usavršavanja, gde spadaju skoro svi tehnički fakulteti) ili na institutu. Tvoja diploma ih uopšte neće interesovati. Probaj sa njom da upišeš doktorske studije matematike, pa ćeš videti da te diplome nikako nisu iste. Taj smer je za one koji znaju da nemaju veće ambicije od rada u školi. Dakle, to je diploma samo za to i ništa više za razliku od stara 4 smera M, R, V i N.

Možeš ti da misliš tako, ali svi na matematičkom fakultetu znaju kakav je kriterijum na L smeru i koje ispite imate i zašto je taj smer uveden.

Ne znam da li možeš sa tim smerom da radiš negde u struci, osim kao profesor u školi.

Ne bih želeo da ispadne da nipodoštavam tvoj smer, ali ne možeš da tvrdiš da imaš istu "prođu" kao neko ko je završio R, N, M ili V smer.

A gomila stvari u nasoj matematici nam nikad u zivotu nece trebati. Vec pomenuti integrali,diferencijalne,f-je vise promenljivih i gomila drugih gluposti. Ako pitas bilo kog profesora,nijedan nece navesti valjan razlog za to,vec ce reci da nam to sluzi za treniranje mozga! Jbm mu mater,ako nema bolje objasnjenje...
Kao sto si rekao,kao da nema gomila drugih daleko potrebnijih predmeta koji ce nam trebati,vec nas drndaju sa matom.

ekof9

Sve je to u redu, ali za pitanje šta treba ekonomistima, a šta ne, kompetentni su profesori ekonomije, a ne studenti. Program matematike treba da sastavljaju matične katedre. Ako to nije slučaj, onda nešto ne štima.

AstroDule

Verovatno su matematički ispiti teži na L smeru, nego na I smeru. To je smer za dobijanje zvanja "diplomirani informatičar", koji je dakle nematematički, jer nisu diplomirani matematičari. Ne treba ga mešati sa R smerom za dobijanje zvanja "diplomirani matematičar za računarstvo i informatiku", koji jeste matematički.

Cabo

Evo, vidim po institutima i fakultetima je jagma za L-ovcima.

<sub>Bojan Bašić: uklonjeni delovi koji se odnose na izbrisane poruke.

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 16.01.2010. u 00:57 GMT+1]</sub>

Dok sam ja studirao nije postojao taj I smer.
Samo sam hteo da istaknem da L smer po kriterijumu (koji su postojali dok sam studirao) ne može da se približi R, M, N, V smeru, pa čak ni "mojoj" astronomiji jer smo mi astronomi uvek polagali matematičke ispite zajedno sa R ili N smerom (u zavisnosti gde nas bace)

Pa, astronomi i mehaničari su takođe diplomirani matematičari, odnosno, ti smerovi jesu matematički. To im piše u zvanjima koja dobijaju. I smer nije matematički, a M, N, V, R i L jesu, s tim da se slažem da je L najslabiji.

Takođe, I smer je osakaćeni R smer ne samo za matematiku, nego i za računarstvo.

Posle sve ove price pogledao sam program studija na MF i video da postoji kao izborni predmet u okviru izbornog bloka MM6 Matematicke metode kvantne mehanike. Zna li neko ko to tamo predaje? I postoje li neke skripte mozda?