[ pjervg @ 13.03.2010. 22:37 ] @
Može li pomoć oko sledećeg identiteta:
Ako su dati realni brojevi x,y,z takvi da je xyz(x+y+z)≠0 i ako je ispunjeno 1/x + 1/y + 1/z = 1/x+y+z tada za svako neparno n važi: 1/x^n +1/y^n +1/z^n =1/(x^n+y^n+z^n ). Dokazati.
[ zzzz @ 13.03.2010. 22:59 ] @
Indukcijom.
Provjeri za n=1
Predpostavi da važi za n=2k+1 i naštimaj da
vrijedi i za n=2k+3.I to je dokaz.
[ pjervg @ 14.03.2010. 21:31 ] @
Ne ide glatko priča sa indukcijom, postoji li neki drugi pristup?
[ petarm @ 14.03.2010. 22:23 ] @
Gde je zapelo?
[ Farenhajt @ 14.03.2010. 22:35 ] @
Može i bez indukcije, preko Vijetovih formula.

Iz polazne jednakosti sledi

Ako su rešenja jednačine , onda po Vijetovim formulama sledi , pa dobijamo



Prema tome, jedan koren jednačine upravo je koeficijent , no po Vijetovim formulama, on je jednak zbiru sva tri korena. Zaključujemo da su dva od tri data broja uzajamno suprotni (tj. ako je npr. , onda je ). Odatle traženi zaključak direktno sledi.

(Alternativna diskusija: brojevi mogu se predstaviti kao , gde opet imamo dva suprotna broja. Naravno, ako su dati brojevi realni, koeficijent nužno će biti negativan.)