Neka je i . Ovo je niz neprekidnih funkcija koje u datom segmentu imaju nulu, ali taj niz funkcija divergira. Navedeni skup nije zatvoren.

Nisu ni bitni divergentni nizovi, samo konvergentni.

Evo kako sam ja pokusao.
Neka je fn konvergentan niz funkcija iz A koji konvergira ka f. Tada niz i ravnomjerno konv. ka f. Pa za svako €>0 (epsilon) i dovoljno veliko n (vece od n0) imamo
| fn(x) - f(x) | < € za svako x iz intervala. Neka je k > n0 i neka funkcija fk(x) ima nulu u tacki c intervala [a,b]. Pa je
| fk(c) - f(c) | < €, a odavde je
| f(c) | < €, sto znaci da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c). E sta sad? Jel ovo znaci da f ima nulu u [a,b]?

E, da, ja sam dokazao da taj skup nije kompaktan.

Da, ako je neprekidno i i (što je ispunjeno zbog zatvorenosti domena), onda je .

f je neprekidno zbog ravnomjerne konvergencije (posto su i fn neprekidne).
Znaci, vazi da je f(c) = 0, zato sto je c iz segmenta [a,b] i f je neprekidno. A da je (a,b) npr. interval ne bi moralo to da vazi? Pa je i skup A zatvoren.

Da.

Opet je netacno. A obrazlozenje je da iz |f(c)|<€ (za svako €<0) ne slijedi da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c) bez obzira sto je c iz segmenta[a,b]...

Vajerstrasova teorema vam resava ovo. Ona tvrdi da, ako je neprekidna na zatvorenom intervalu onda je ona i ogranicena na . Ne secam se dokaza.

Evo kompletnog rešenja:

Neka neprekidno i neka je . Pretpostavimo da ravnomerno na . Jasno, u tom slučaju mora biti neprekidno.

Neka je . Izaberimo takvo da za svako važi . Tada je , pa je . Međutim, zajedno sa i funkcija mora biti neprekidna, pa dostiže minimum u nekoj tački , pa je .

Da li onda moze biti
c=a (ili b) i f(c) razlicito od nula iako je |f| neprekidno?

.

.