Nesvojstveni integral - deliti ili ne?

[ Cabo @ 24.01.2004. 20:43 ] @

Ovo sam našao u Radenovićevoj zbirci:

E, sad, problem je što se u teoriji kaže da je nesvojstven onaj integral
čija je podintegralna funkcija definisana na poluzatvorenom
intervalu, npr.

, tj. nije definisana u tački

. Ovde funkcija

nije
definisana u dve tačke:

(jer je

nedefinisano), i

(jer je

nedefinisano), dakle presek domena funkcije

i segmenta

je interval

. Mislim da nema veze što je

, jer se
pre toga integral mora podeliti na dva integrala:

gde je

singularitet za

, a

singularitet za

. Tek onda se može ispitivati granična vrednost
funkcije za svaki od tih integrala posebno.

Da li sam u pravu? Da li je Radenović malo „skratio“ postupak koji ne
bi trebalo skraćivati?

Unapred hvala,
Cabo

[Ovu poruku je menjao Cabo dana 25.01.2004. u 12:52 GMT]

[ darkosos @ 24.01.2004. 22:17 ] @

U pravu si da prvi integral ima dva singulariteta, ali to kaže i Radenović. Samo dodaje da je druga tačka "prividni" singularitet, pa tako dalje radi kao da nije... Možeš zamislti da je funkcija dodefinisana u pi/2 sa 0, pa imaš poluotvoreni interval...

[ Cabo @ 25.01.2004. 09:53 ] @

Mislim da je cela stvar u ovome:

Mislio sam da bi moglo da bude problematično jedino mesto označeno zvezdicom. Ali, to je dozvoljeno, jer je:

Dakle, nema smisla govoriti o graničnoj vrednosti kada se algebarskom transformacijom može dobiti konačan broj. Ergo, Radenović nije trebalo ni da računa graničnu vrednost, već samo da konstatuje ovu jednakost. Uh! :-P

Hvala,
Cabo

[ darkosos @ 26.01.2004. 08:44 ] @

Ne može to baš tako, jer, na žalost, funkcije

nisu identične. f(x) nije definisana u nuli, dok g jeste. Bez obzira što one imaju jednake vrednosti za sve ostale vrednosti argumenta.
Ako ti ovo bode oči, pogledaj sledeće primere :

...