[ petarm @ 11.09.2010. 10:38 ] @
- Grinova integralna teorema

Pretpostavimo da su potencijal i njegovi izvodi u celoj ovoj oblasti konacni i neprekidni izuzev na izvesnim povrsima , na kojima su nam dati skokovi potencijala i njegovih izvoda u pravcu normale.

Uzmimo da u Grinovoj integralnoj teoremi oznacava potencijal ovog sistema, a funkciju , gde je rastojanje od tacke u kojoj trazimo potencijal do proizvoljnog elementa zapremine . Opkolimo povrsi zatvorenim povrsima , priljubljenim uz , a tacku sferom vrlo malog poluprecnika . U oblasti izmedju ovih povrsi i povrsi , koju oznacimo sa potencijal i funkcija su konacni i neprekidni, te na nju mozemo primeniti Grinovu teoremu:



Kolko ja shvatam ovde je



Prvi integral na desnoj strani otpada iz fizickih razloga i imamo



U svakoj tacki posmatrane oblast je . Zasto?.

Ako iskoristimo Poasonovu jednacinu elektrostatike , gde je , a gustina slobodnih naelektrisanja imamo



Kako sad izracunati integrale na levoj strani?
[ petarm @ 11.09.2010. 16:40 ] @
Posto su slicni problemi u pitanju resih da nastavim u okviru ove teme.

Energija elektrostatickog polja je definisana kao



Znamo uslov





Postavlja se pitanje transformacije prvog integrala sa desne strane:

Potencijal i njegovi izvodi su svuda neprekidni osim na povrsima - kao i u prvom postu!

je oblast na kojoj nemamo problema, pa na tu oblast primenimo Gausovu teoremu



Opet kolko ja shvatam u udzbeniku koji koristim



Drugi integral s desne strane otpadne iz fizickih razloga i dobijamo



Sada se koristi sledece



Zasto ovo vazi?

Odatle se dobija



Malo sam opotpunio problem ove teme. Problem je cisto matematicki. Voleo bih ako bi neko mogao da prokomentarise kolko je sve ovo korektno. U tekstu sam boldovao problematcne momente. Hvala svakom ko zeli da pomogne. Unapred hvala na odgovoru!


[ Nedeljko @ 13.09.2010. 07:30 ] @
Citat:
petarm: U svakoj tacki posmatrane oblast je . Zasto?.


To je ekvivalentno sa uslovom da je funkcija harmonijska. Bez tog uslova to ne važi, tako da ovaj problem nije čisto matematički, već sigurno postoje fizički razlozi zašto je to harmonijska funkcija.
[ petarm @ 22.09.2010. 08:25 ] @
Citat:
Nedeljko: To je ekvivalentno sa uslovom da je funkcija harmonijska. Bez tog uslova to ne važi, tako da ovaj problem nije čisto matematički, već sigurno postoje fizički razlozi zašto je to harmonijska funkcija.


Da nisam proverio je li ova funkcija harmonijska, a dakako da jeste!



pa je



Citat:
petarm: Posto su slicni problemi u pitanju resih da nastavim u okviru ove teme.

Energija elektrostatickog polja je definisana kao



Znamo uslov





Postavlja se pitanje transformacije prvog integrala sa desne strane:

Potencijal i njegovi izvodi su svuda neprekidni osim na povrsima - kao i u prvom postu!

je oblast na kojoj nemamo problema, pa na tu oblast primenimo Gausovu teoremu



Opet kolko ja shvatam u udzbeniku koji koristim



Drugi integral s desne strane otpadne iz fizickih razloga i dobijamo



Sada se koristi sledece



Zasto ovo vazi?

Odatle se dobija



Malo sam opotpunio problem ove teme. Problem je cisto matematicki. Voleo bih ako bi neko mogao da prokomentarise kolko je sve ovo korektno. U tekstu sam boldovao problematcne momente. Hvala svakom ko zeli da pomogne. Unapred hvala na odgovoru!


Sta mislite o ovakvom resavanju ovih integrala i ima li smisla pustati ?