Intervalna algebra i primena

[ Nedeljko @ 14.09.2010. 11:44 ] @

Svakoj realnoj funkciji

realne promenljive možemo pridružiti jednu intervalnu funkciju

koja intervalima pridružuje intervale tako da važi:

ako je interval

podskup domena funkcije

i za svako

važi

. Naravno, uvek se može staviti da je

, ali od toga nema nikakve koristi. Cilj je da dobijeni interval bude po mogućstrvu što uži.

Intervalna algebra omogućava da kontrolišemo, kako grešku odsecanja ili zaokrugljivanja ili računa (što je isto), tako i ukupnu grešku, koja uključuje i grešku merenja i grešku metode. Vrednost izraza izračunatog u intervalnoj algebri je interval kome garantovano pripada tačna vrednost izraza. Jedna od intervalnih biblioteka za C++ uključena je u boost. Evo primera njene primene na računanje sinusa pomoću tejlorovog razvoja.

Code:
#include <boost/numeric/interval.hpp>

using namespace boost;
using namespace numeric;
using namespace interval_lib;

typedef interval<double> real;

real sin(double arg) {
    real x(arg);
    const real pi2(6.283185307179586, 6.2831853071795867);
    int factor = 1;

    if (x == 0) {
        return real(0);
    }

    if (x < 0) {
        factor = -1;
        x = -x;
    }

    real q = x / pi2;

    q -= floor(q.upper());

    if (q.upper() > 0.5) {
        factor = -factor;
        q -= 0.5;
    }

    if (q.upper() > 0.25) {
        q = -q + 0.5;
    }

    x = q*pi2;

    real x2 = -x*x;
    real s(0);
    real f = x;
    int n = 1;
    real approximation(qMin(0.0, x.lower()), qMax(0.0, x.upper()));

    while (true) {
        s += f;
        n += 2;
        f *= x2;
        f /= n*(n-1);

        real newApproximation = s + f;

        newApproximation = real(qMin(newApproximation.lower(), s.lower()), qMax(newApproximation.upper(), s.upper()));
        newApproximation = real(qMax(newApproximation.lower(), approximation.lower()), qMin(newApproximation.upper(), approximation.upper()));

        if (newApproximation.lower() == approximation.lower() && newApproximation.upper() == approximation.upper()) {
            break;
        }

        approximation = newApproximation;
    }

    if (factor == -1) {
        return -approximation;
    }

    return approximation;
}

Dakle, za svako