Ne znam diskretnu matematiku, ali 6. zadatak nije tezak. Matematicka indukcija.

Dakle,

Proverimo da li tvrdjenje vazi za : Vazi.


Pretpostavimo da tvrdjenje vazi za :


Dokazimo da vazi za :



A to, kad se malo sredi izgleda ovako:




Podjimo od indukcijske hipoteze:



Na obe strane dodajmo :



Sada bi trebalo da dokazemo da je:









Q.E.D.

8. Zadatak:

An-6*An-1 + 9*An-2 = 1

An = Bn + Dn

Bn je homogeni deo
Dn je partikularni deo

Bn - 6*Bn-1 + 9*Bn-2 = 0
Odgovarajuća diferencna jednačina je:
r^2 - 6*r + 9 = 0.
r1=3 i r2=3.

Bn= C1*(3^n) + C2*(3^n)*n


Pošto je na desnoj strani konstanta 1 onda je partikularni deo nezavisan od n:
Dn=K, Dn-1=K i Dn-2 = K.
K-6K + 9K = 1
K=1/4.

An= C1*(3^n) + C2*(3^n)*n + 1/4.

Ostaje još samo da se nađu konstante C1 i C2 iz početnih uslova.

A0=2 sledi 2 = C1 + 1/4
A1=0 sledi 0 = 3C1 + 3C2 + 1/4

C1=7/4 , C2=-11/6


An= 7/4*(3^n) - 11/6*(3^n)*n + 1/4

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 28.09.2010. u 08:47 GMT+1]}

5. Zadatak:

18^111 = (10 + 8) ^111 = 10^111 + 111*(10^110)*8 + .... 8^111.

Svi članovi osim zadnjeg imaju zadnju cifru 0 tako da
18^111 ima isti zadnju cifru kao i 8^111.


8^111 = (2^3)^111 = 2^333


2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16

2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256

2^9 = 512
2^10 = 1024
2^11 = 2048
2^12 = 4096
.
.
.
2^(4k+1) = ima zadnju cifu 2
2^(4k+2) = ima zadnju cifu 4
2^(4k+3) = ima zadnju cifu 8
2^(4k) = ima zadnju cifu 6


2^333 = 2^(4*83 + 1) pa je zadnja cifra 2.

5. Zadatak bez upotrebe binomne formule.

18^111 = (6*3)^111 = (6^111)*(3^111).

6 na bilo koji stepen ima zadnju cifru 6.

3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81

3^5 = 243
3^6 = 729
3^7 = 2187
3^8 = 6561

.
.
.
3^(4k+1) = ima zadnju cifu 3
3^(4k+2) = ima zadnju cifu 9
3^(4k+3) = ima zadnju cifu 7
3^(4k) = ima zadnju cifu 1

3^111 = 3^(4*27+3) i ima zadnju cifu 7.
6^111 ima zadnju cifru 6.

7*6 = 42, zadnja cifra je 2.

@ Karlo

Za koji fakultet je ovaj ispit?