To se svakako može dokazati primenom Mjurhedove teoreme.

Da, ali je zadatak iz dela knige o nejednakostima gde se govori o odnosima između sredina, dakle trebalo bi da postoji neki elegantniji način da se pomoću toga dođe do rešenja.

Iz sledi da u opštem slučaju važi

, pa je

.

Hvala. Svaka čast na kratkom i efektnom dokazu.

U međuvremenu sam i ja uspeo na sličan način da dokažem ovu nejednakost, ali dužim putem.

Pođimo od pretpostavke da je ispunjena nejednakost:


Pošto je a>0, b>0 i c>0, važi i , kao i ako polaznu nejednakost pomnožimo sa ne menja se znak kod nejednakosti pa važi:


Ovo je ekvivalentno sa:


Dokažimo da je:


Nejednakost pomnožimo sa 2.


Odatle:




Zadnja nejednakost je jasno ispunjena, pošto je zbir kvadrata veći ili jednak 0.

Ako se nejednakost iskoristi u dobija se:


To je ekvivalentno sa:


Treba dokazati da je:


Slično kao i dokazuje se:



Preostaje da se dokaže da je:


Kada se ovo pomnoži sa dva, dobijena nejednakost se transformiše u obilk:


Ova nejednakost je zadovoljena za svako a, b, c>0, pa je polazna pretpostavka tačna, tj. važi:


Jedakost važi ako i samo ako:




Prema tome jednakost se dobija ako i samo ako .

Pošto su a, b, c istoga znaka ovo je ekvivalentno sa .