[ Fermion @ 16.12.2010. 22:27 ] @
| Evo jednog zadatka iz časopisa "Tangenta" broj 61, sa stranice 34., "Trigonometrijski oblik kompleksnog broja; polinomi", zadatak broj 5. Treba rešiti sistem jednačina:    Ja sam zadatak pokušao da uradim na sledeći način: svođenjem na drugi sistem, tako što sam tri jednačine dobio kombinovanjem date tri: od prve oduzeo treću, od treće drugu i od druge prvu i zatim analogno rešio i taj sistem oduzimanjem jednačina, i svakim sparivanjem jednačina dobio sam  . Pri tom je više puta upotrebljen uslov  , koji jasno mora da važi. Ovo ipak ne znači da rešenja ima beskonačno mnogo. Primetimo da se isto to moglo dobiti za bilo koji sistem poput ovog gde ja a realan broj:   Ipak postupak se može nastaviti sada sabiranjem jednačina iz polaznog sistema po dve čime se dobija nov sistem za čija rešenja mora da važi da trojka brojeva koja je rešenje zadovoljava uslov . U svakoj jednačina eliminiše se po jedna promenljiva i dobija se nešto jednostavniji oblik sistema, koji je ipak prilično obiman za rešavanje, iako, rekao bih, ovakav postupak može da se nastavi.Ja sam zatim pokušao da pronađem jednostavnije rešenje ubacivanjem kompleksnih brojeva i korišćenjem nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine, ali ipak nisam uspeo da dođem do rešenja na taj način. Iz same simetrije polaznog i dobijenih sistema jednačina nameće se zaključak da realnih rešenja nema. Ako neko zna da ovo reši ili ima ideju kako bi se to što jednostavnije moglo uraditi bio bih zahvalan da mi odgovori. |
