[ nikolinv @ 02.05.2011. 21:13 ] @
Dat je trapez ABCD, tačka E na pravoj AB tako da BE = DC = b, tačka F na pravoj CD takva da FD = AB = a.
Tačka G je presek dijagonala, a H je presek dijagonale BD i duži EF.
Obeležimo duži DG = x, HG = y i BH = z.





Trouglovi ABG i CDG su slični, pa važi:

b/a = x/(y+z)

Drugačije napisano:

x = (b/a)(y+z) (*)

Dalje, trouglovi BEH i DFH su takođe slični, pa imamo:

b/a = z/(x+y)

Ako izrazimo z dobijamo:

z = (b/a)(x+y) (**)

Odzimajući (*) i (**) zaključujemo:

x-z = (b/a)(z-x)

Ako sada podelimo poslednji izraz sa (z-x) i uzmemo absolutnu vrednost dobićemo:

|b|/|a|=1

i konačno a = b.

Ali ovo je moguće samo ako je četvorougao ABCD paralelogram. Da li je ovo paradoks ili nešto drugo?

Ovde možete diskutovati o paradoksima generalno. Unapred hvala.

[ kandorus @ 02.05.2011. 22:47 ] @
Nije mi jasno da li je pri uzimanju apsolutne vrednosti očuvana Pašova aksioma?
[ Zekica @ 02.05.2011. 23:22 ] @
Citat:
x-z = (b/a)(z-x)

Do ovog trenutka je sve uredu.

"Ako sada podelimo poslednji izraz sa (z-x)" dobijamo b/a=-1, ako sada pomnožimo sa a dobijamo: b=-a, što je nemoguće jer su dužine a i b pozitivne.

Citat:
Ali ovo je moguće samo ako je četvorougao ABCD paralelogram. Da li je ovo paradoks ili nešto drugo?

U rečenici "Ako sada podelimo poslednji izraz sa (z-x)", se predpostavlja da je x-z različito od nule, što nigde nije eksplicitno rečeno. Čak, šta više, u ovom slučaju je x uvek jednako sa z.

z = (b/a)((b/a)(y+z)+y) = (b/a)(b/a+1)y+(b/a)(b/a)z
(b/a-1)(b/a)z = (b/a)(b/a+1)y |/((b/a)*(b/a-1))
z = y*(b/a+1)/(b/a-1) (*)


x = (b/a)(y+(b/a)(x+y)) = (b/a)(b/a+1)y+(b/a)(b/a)x
(b/a-1)(b/a)x = (b/a)(b/a+1)y |/((b/a)*(b/a-1))
x = y*(b/a+1)/(b/a-1) (**)

iz ovoga sledi da je x=z pa gornje deljenje nije dozvoljeno.
[ Sini82 @ 03.05.2011. 14:17 ] @
Da bi četverougao bio trapez, u skladu sa oznakama na slici, mora da vrijedi . Iz uslova zadatka dobijamo: (jer ). Kontradikcija, ne mogu istovremeno da vrijede obe nejednakosti ( i ). Zadani četverougao nije trapez. Nema tu paradoksa nego je greška u tekstu zadatka.
[ nikolinv @ 03.05.2011. 16:37 ] @
Citat:
Sini82: Da bi četverougao bio trapez, u skladu sa oznakama na slici, mora da vrijedi . Iz uslova zadatka dobijamo: (jer ).


Tačka F ne pripada duži CD, tj osnovici, pogledaj sliku. Raspored tačaka je kao onaj na slici, nisam hteo da smaram s tim, nije fora u rasporedu.
[ Sini82 @ 03.05.2011. 18:10 ] @
Moja greška, letimično sam pročitao tekst zadatka i pogledao sliku. Nema paradoksa. Zekica ti je odgovorio, dijelio si nulom.