Zanimljivi zadaci iz teorije verovatnoće

[ Nedeljko @ 17.08.2011. 09:31 ] @

Na raspolaganju nam je novčić, koji nije fer, tj. glava i pismo ne moraju biti jednako verovatni, ali nam je poznato da su verovatnoće glave i pisma jednake pri svim bacanjima, da su bacanja nezavisna i da i glava i pismo imaju pozitivnu verovatnoću pojavljivanja. Verovatnoća pojavljivanja glave, odnosno pisma je nepoznata.

1. Formulisati događaj koji ima verovatnoću tačno 1/2.
2. Formulisati slučajnu promenljivu koja ima vrednosti iz skupa {1,...,6}, pri čemu je svih šest vrednosti podjednako verovatno.
3. Za dati broj

formulisati događaj čija je verovatnoća jednaka

.
4. Za date brojeve

takve da je

formulisati slučajnu promenljivu

čije su vrednosti 0, 1 i 2 tako da je

[ Nedeljko @ 19.08.2011. 15:11 ] @

Programerski, data je funkcija

Code:
bool p();

koja ima uvek istu raspodelu kod koje obe vrednosti imaju pozitivnu verovatnoću i čiji su pozivi međusobno nezavisni. Pomoću nje treba realizovati preostale funkcije. Evo koda.

Code:
bool p();

bool coin()
{
    bool x, y;

    do {
        x = p();
        y = p();
    } while (x == y);

    return x;
}

int dice()
{
    int result;

    do {
        result = coin() | (coin() << 1) | (coin() << 2);
    } while (result > 5);

    return ++result;
}

bool arbitrary(double probability)
{
    while (true) {
        if (probability >= 1) {
            return true;
        }

        if (probability <= 0) {
            return false;
        }

        if (probability < 0.5) {
            if (coin()) {
                return false;
            }
        } else {
            if (coin()) {
                return true;
            }

            probability -= 0.5;
        }

        probability *= 2;
    }
}

1. Rešenje pripada fon Nojmanu. Bacamo novćić po dva puta sve dok ne padnu različite vrednosti, a onda smatramo da je eksperiment uspeo ako je prva vrednost pismo. Primer:

PP
PP
GG
PP
GG
GP

Obzirom da je prva vrednost u GP jednaka G, eksperiment nije uspeo. Dokaz se zasniva na činjenici da su događaju PG i GP jednakoverovatni.

2. Koristimo fer novčić koji smo napravili u prvom zadatku. Bacamo ga tri puta da bismo dobili jednu od 8 jednakoverovatnih mogućnosti, koje obeležavamo brojevima od 1 do 8. Postupak ponavljamo sve dok dobijamo brojeve iz skupa {7,8}. Prvi put kada dobijemo vrednost iz skupa {1,...,6}, vraćamo je kao reziltat.

3. Bacamo fer novčić koji smo napravili u prvom zadatku sve dok ne padne pismo. Događaj

je događaj da je pismo prvi put palo u

-tom bacanju. Ovi događaji su disjunktni, tj. ne može se obistiniti više od jednog i sa verovatnoćom 1 će se obistiniti neki od njih (ne može večito padati glava). Pritom je