To je čuveni Bazelski problem, a rešio ga je Leonard Ojler.

Originalno Ojlerovo izvođenje polazi od Maklorenovog reda za sinus.




Deljenjem sa , dalje je



Nule funkcije su

Pretpostavimo sada da možemo ovu funkciju predstaviti kao proizvod linearnih faktora kao kod polinoma.



Sada ovaj proizvod formalno izmnožimo samo za članove koji sadrže i izjednačimo sa koeficijentom uz u (1).



Deljenjem sa dobijamo:



Množenjem sa dobijamo:



Ovo nije strogi dokaz.

Ovde imaš 14 dokaza.

Postoji opšti postupak za izračunavanje za parno prirodno , a koji se zasniva na poređenju razvoja sinusa u beskonačan red (Maklorenova formula) i u beskonačan proizvod (Ojlerovo razlaganje sinusa).

,

odnosno smenom se dobija

.

To je poređenje razvoja funkcije za , odnosno za .

No, ovo što tebe zanima može i preko Furijeovih redova. Razvi na intervalu funkciju .

, za .

Jednakost je tačna zato što je razvijena neprekidna, deo po deo glatka funkcija.

Zamenom sa nulom dobija se da je

.

Neka je . Obzirom da je , mora biti .

Primenom Parsevalove jednakosti na isti Furijeov red može se dokazati da je .

fala puno obojici
Inace ovo sam naso u jednoj knjizi koju mi je profesorica dala juce,od Sefketa Arslanagica,i u napomeni uz jedan zadatak iz trigonometrije pise samo Dokazuje se da vazi ,pa me je jako zanimalo kako taj dokaz izgleda.

Interesujeme me nesto o ovome ,pod nazivom Parsevalova jednakost,javlja se valjda kao neko uopstenje pitagorine teoreme,ima li to neku primjenu mozda u zadacima.

Pročitaj poslednju rečenicu moje prethodne poruke.