Logaritmovanjem dobijamo da je nejednakost ekvivalentna nejednakosti

.

Iz konkavnosti loogaritma sledi da je

.

Ostalo je da se dokaže da je

,

odnosno

,

a ovo je posledica nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine.

hvala na uloženom trudu i vremenu.
nije mi jasan jedan korak u dokazu

kako smo to zaključili?

Za nejednakost ,imas ,pa se nejednakost svodi na :Zbog ,
vazi ,sad primjeni Jensenovu nejednakost: na i brojeve ,i dobijas:

Taj deo sam shvatio. Nije mi jasan samo ovaj red:

, , , , .

Obzirom da je i sledi

,

odnosno važi obrnut znak nejednakosti od onoga koji sam napisao, pa mi dokaz nije dobar. Pozabaviću se ovim malo kasnije.

Nejednakost je posle sređivanja ekvivalentna nejednakosti , odnosno koja je tačna. Primenimo dokazanu nejednakost.

.

hvala.
opet ne razumem odakle


Zar nije
?

.

Zameni sa i sa .

.

Je li sada jasnije?

sada je jasno.
hvala na uloženom vremenu i trudu

Evo još jednog dokaza.

Funkcija je konveksna, što se lako zaključuje iz pozitivnosi njenog drugog izvoda. Stoga je

za ma koje i takve da je .

Neka su , i . Jensenova nejednakost nam daje

, što je posle sređivanja tačno ono što treba.

ovo mi već deluje komplikovano za ispit pod nazivom "Elementarna matematika", iz koga je zadatak ;-)

treba mi sad pomoć oko nove nejednakosti:

Dokazati da za prirodne brojeve a,b,c važi

Imas nesto slicno ovde: http://aam.org.in/st_material/14.pdf , strana 27.

hvala ali ne umem da iskoristim :(

btw profesor stalno daje nove i nove zadatke, ne znam odakle ih više vadi. i iz roka u rok niko ne polaže :(

Mozda bi bilo bolje prvo dokazati opstije tvrdjenje, .

U tom slučaju se pod hitno žalite dekanu. Koji je fakultet i koji profesor u pitanju?

Žalba dekanu bi imala smisla samo ako je situacija stvarno takva da niko ne može položiti ispit. Ali ozbiljno sumnjam u to.

Analizirajmo donju rečenicu malo podrobnije.

1) „Profesor stalno daje nove i nove zadatke.“ U čemu je smisao ove izjave? Šta, ako bi profesor ponavljao iste zadatke iznova i iznova, onda bi ih studenti lako naštrebali napamet i položili ispit? A ovako, sram bilo profesora, očekuje da studenti sami reše zadatke, a ne da ispisuju rešenja koja su naučili napamet bez trunke razumevanja, baš sramota.

2) „Ne znam odakle ih više vadi.“ Izjava sličnog tipa poput gornje. U čemu je problem? Studenti imaju neku zbirku ili dve, već su naštrebali rešenja zadataka iz tih zbirki (ili će poneti zbirke sa sobom u pogodno umanjenom formatu, zašto da ne), i zamisli, zao profesor ih maltretira tako što „vadi“ zadatke ko zna odakle! A još jednu stvar vredi pomenuti ovde: mentalitet studenata koji smatraju da su svi mogući zadaci sabrani u dve-tri zbirke, i čudom se iščuđavaju što profesor svaki put ko zna otkuda „izvadi“ zadatak kog nema u njihovim zbirkama. Dakle, je li student s ovakvim načinom razmišljanja stvarno razumeo makar M od matematike? (Još nešto o ovoj temi pri kraju poruke.)

3) „Iz roka u rok niko ne polaže.“ Upečatljivo je to što je ova izjava tek na trećem mestu u rečenici. Dakle, glavni problemi su to što profesor „stalno daje nove i nove zadatke“ (!), što se studenti čudom iščuđavaju „odakle ih više vadi“ (!!) — a tek nakon svega toga saznajemo da, eto, još povrh svega, iz roka u rok niko ne polaže ispit! Prosto se ne mogu oteti utisku da je ova poslednja izjava dodata tek da doprinese upečatljivosti sveopšte slike o zlom profesoru, bez neke veze s realnošću.

Darence, da ti direktno kažem. Ako je čak i stvarno tačno da iz roka u rok niko ne polaže ispit, to svakako jeste problem — ali ne tvoj problem, već problem onih studenata koji jesu zaslužili da polože. Ti si, komentarima koje sam gore analizirao, upečatljivo demonstrirao da tvoje poimanje matematike nije ni blizu nivoa potrebnog da položiš ispit. Najpre moraš drastično izmeniti neke stvari u svom pristupu, pa tek onda možemo ozbiljno pričati o tome postoje li kod dotičnog profesora realni problemi s prolaznošću.

Najavio sam maločas jednu anegdotu iz ličnog iskustva u vezi s komentarom 2). Bukvalno na svom prvom času koji sam držao studentima, objašnjavam im koncept predmeta (u pitanju su bili osnovi geometrije 2 — tj., euklidska i hiperbolična geometrija, a nije ni bitno o kom predmetu je reč), i kažem tom prilikom ovakvu rečenicu: „Puškice su na kolokvijumima dozvoljene. U puškice spadaju sveske, knjige, bilo kakav štampani/pisani/kopirani itd. materijal.“ (Poenta ovoga je, mislim da sam već jednom i objašnjavao na forumu, da od studenata očekujem prikaz razumevanja gradiva, a ne šta su oni naučili napamet.) Kažem: „Ima li pitanja?“, i diže se jedna ruka iz poslednje klupe.
Ja: „Izvolite?“
Studentkinja: „A može li i zbirka?“
Ja: „Zbirka spada u štampani materijal — dakle, može.“
Ona: „A znate li vi da u zbirci ima mnogo rešenih zadataka?“
Ja: „Dobro, koliko zadataka ima u zbirci?“
Ona: „Hiljadu sedamsto sedamdeset sedam“ (kao iz topa!).
Ja: „I vi mislite da za dva sata, koliko traje kolokvijum, možete pregledati hiljadu sedamsto sedamdeset sedam zadataka iz zbirke, tražeći među njima onaj s kolokvijuma, a koji najverovatnije nije tamo?“
Ona: „Aha — znači doći će oni zadaci koji su ostavljeni nerešeni u zbirci?“
O tome pričam. Za mnoge studente ne postoji nijedan više zadatak sem tih hiljadu sedamsto sedamdeset sedam. Pitanje je samo hoće li na kolokvijumu doći neki od onih koji su rešeni, ili neki od onih za koje nije dato rešenje. Nema trećeg!

Dalje, na kolokvijumima se sledeći šablon ponavlja maltene bez izuzetka. Kada nekog tokom časova zapazim kao dobrog studenta, tog na kolokvijumima redovno vidim da ulazi u amfiteatar ili samo sa sopstvenom beležnicom u ruci, ili čak i bez nje. A kada nekoga vidim da dolazi s onom torbom „krmačom“, kao da je krenuo na najlon-pijacu da prodaje polovne knjige a ne na kolokvijum — za takvog u startu znam da će teško imati nešto više od 0 bodova.

Za kraj, samo da napomenem: ne znam na kom fakultetu darence studira, i ne poznajem profesora na kog se žali. Ili, možda ga zapravo i poznajem, ali u svakom slučaju ne znam da je na ovoj temi reč baš o njemu. Dakle, sve što sam napisao nije u odbranu ovog ili onog, već lični stav uopšte.

Bojane, ne bih se složio sa tobom.

Po mom mišljenju na ispitu treba da se proveravaju pre svega znanje i umenje, pa tek onda inteligencija studenata, aovo poslednje dolazi u obzir samo za ocene 9 i 10. Ispit bi trebao da položi svaki vredan student. Jasno je da ne može svako da savlada matematiku, ali test opštih sposobnosti za studiranje nekog fakulteta treba da bude prijemni ispit, što znam da nažalost nije slučaj.

Dakle, asistent koji pravi olimpijadu od vežbi po pravilu ne nauči studente ništa. Prvo treba odraditi zadatke kojima se ilustruju pojmovi, pa onda zadaci kojima se razvijaju i uvežbavaju tehnike, pa onda ako ostane vremena, može i neki klikeraški da se razbije monotonija.

Student koji je naučio ne znam koliko trik zadataka je malo toga naučio, jer te trikove nigde neće moći da primeni, a student koji nauči važne tehnike je mnogo toga naučio, jer će to moći kasnije i da primeni u rešavanju nekih problema.

Međutim, upravo u tome leži glavni problem za predavače - da što više što širih klasa problema pokriju tehnikama. Da bi tako predavali, prvo sami moraju imati veliko znanje. U suprotnom sve ostaje na paroli "snađi se" za studente, jer su ih predavači malo čemu naučili. Od vrhunskih predavača se nauči više sa manje napora, nego od slabijih. Nikakav problem nije napraviti bauk od ispita. Problem je naučiti studente što više.

Dakle, student koji je naučio gradivo sa razumevanjem i dobro ga uvežbao, treba bez ikakvih trikova da može da dobije osmicu, a ako ponegde zabrlja, za to služe dve niže prelazne ocene. Naravno, treba da postoji još neki trikčić da bi se izdvojile devetke i desetke, jer treba da postoji gradacija.

E, sad, član darence se možda loše izrazio, ali ja bih rekao da je smisao njegove poruke da rokovi njegovog profesora nisu nimalo tipski, tj. sastoje se samo od trik zadataka. Ako je profesor takav, nije ni samo darence kriv ako je malo od njega naučio. Ne znam kako si iz njegovih poruka zaključio da je jako loš, ali to nije ni bitno.

E to me zanima, gde se na matematici drže predavanja tako da se izlažu tehnike. Po pravilu se nabrajaju definicije i teoreme a o tehnikama nema reči osim možda odabranima na izdvojenim sedeljkama. Zadaci se daju na tresak bez podloge i logičkog uvoda pa ne čude iracionalna rešenja koja daju studenti.

Pravljenje olimpijade na predavanjima je svakako besmisleno. Isto tako trik zadaci i slično. Već sam pomenuo primer iz zbirke za analizu - trik zadatak, čemu to služi?

Ima i drugih primera kao što je u zbirci iz statistike za PMF NS - broj kišnih dana bez kiše - ihaj!!!

Tema skrece polako, ali mozda pocinje da sustinski resava problem.

Jedno od interesantnijih pitanja je npr. gradacija znanja tj. kako sa 5 ili 6 ocena korektno i posteno nekog oceniti.
Ako podjemo od cinjenice da je ocena 10 maksimium koji se moze dobiti u visokoskolskom obrazovanju, pitanje je sta ona znaci?
Da li to znaci da je student savladao sve potrebne teme i zadatke sa vezbi i teorijskih predavanja (tj. ono sto je predavano) ili je savladao svo potrebno znanje koje konkretan predmet podrazumeva?
Mnogi profesori imaju razlicite kriterijume ocenjivanja, pa neki smatraju to ovako drugi onako i onda je logicno da postoje laki i teski predmeti i ako ta podela nije na osnovu tezine materije nego na osnovu kriterujuma koji je profesor usvojio.

Licnog sam misljenja da su takmicarski zadaci mozda malo isuvise zahtevni za proveru znanja studenata na ispitima, jer su ovde dati zadaci upravo takvi, ali nisam protiv toga da bi jedan ili dva, od npr. 5 zadataka trebao biti viseg i visokog nivoa tezine upravo da bi se napravila neka gradacija, ako je kriterijum da se sa 3 zadatka prolazi.

@darence nije naveo da li su svi zadaci sa ispita ove tezine, ili je on ovde trazio resenja najtezih ili profesor trazi nesto vise da se uradi od nekoliko standardnih zadataka za prolaz.

U stvari, nije bitno da li se na ispitima daju zadaci koji su isti ili slicni onima radjenim na vezbama, ali je bitno da li su iste tezine i tipa sa onima radjenim na vezbama.

A @darence ja ti mogu ponuditi 567 zadataka sa lepim i teskim nejednacinama sa uputstvima za resavanje, ali to su sve takmicarski zadaci sa olimpijada i slicnih takmicenja i da bi se oni savladali i prosli sa razumevanjem treba nesto vise vremena (da ne kazem meseci i godina) i smatram da ako profesor daje ovakve zadatke za 6-icu, onda tu nesto ne stima. Mada, opsti je trend u obrazovanju da kriterijumi znanja idu "na dole" ali uvek postoje izuzeci ...

Ajde, ako ti nije proble, napisi nesto vise o tom ispitu, zadacima, vezbama, predavanjima, kriterijumu ... ali budi posten i objektivan a ako imas volje i vremena sve se moze nauciti i danas ima puno izvora do kojih se relativno lako moze doci, tako da se sve moze savladati.

U Novom Sadu na PMF-u se na predavanjima izlaže "teorija" - definišu se pojmovi, daju teoreme i dokazi, a na vežbama, koje obično drže asistenti, rade se zadaci, koji bi trebalo da budu ta "podloga" za izbegavanje "treska", tj. deo podloge, dok neke slojeve iste moraju da nadograde studenti sami.

Ne želim da ulazim u diskusiju niti da se pravdam, za sada, i molim da uvažite taj stav. Šta će Bojan da misli o meni - to me brine skoro pa kao i lanski sneg.
Samo hoću da se zahvalim na razumevanju onima koji su razumeli .
Obećavam da ću (kada za to dođe vreme) postaviti ovde sve zadatke sa vežbi i sve blankete sa ispita iz poslednje dve godine. Mada, i tad će me Bojanovo mišljenje o meni zanimati podjednako kao i sada. Razumem ja njega. On je profesor, ja sam student. Često su to dve suprotstavljene strane.

Da ovi zadaci koji padaju na nakom tehničkom fakultetu, pa da se diskutuje.
Ali PMF, smer matematika?
I to završna godina.

Evo ih ispitna pitanja:
http://imi.pmf.kg.ac.rs/moodle...matematika-ispitna_pitanja.pdf

Ne znam kako Jensenova nejednakost deluje previše komplikovano kada je jedno od ispitnih pitanja?

Evo napredni srednjoškolac je uradio sve zadatke koje su ovde postavljani:
http://hrcak.srce.hr/index.php...lanak&id_clanak_jezik=6636

Možda ih odavde profa "čupa"?



_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 15.11.2011. u 02:00 GMT+1]}

Mislio sam da sam dovoljno jasno obrazložio ono što sam pričao, ali pokušaću još jednom sve sažeti. Iz one njegove rečenice koju sam citirao stekao sam utisak da on: a) očekuje na ispitu ponavljanje identičnih zadataka kao na nekima od prethodnik rokova; b) očekuje na ispitu zadatke identične onima koji su urađeni u određenoj zbirci (ili određenim zbirkama). Pošto se to ne dešava, on izražava nezadovoljstvo. Da li je, po tvom mišljenju, student koji se žali na činjenicu da se na ispitu ne ponavljaju zadaci, i ne daju zadaci identični kao u nekim konkretnim zbirkama, spreman da nauči i razume gradivo? Ne bih rekao. A povrh svega, o nekome ko se iščuđava otkud profesoru toliko novih zadataka imam utisak da veruje kako je matematika skup od dvesta (ili petsto, hiljadu, nebitno) zadataka, i da sem toga nema ništa više — pa je šokiran kad profesor ipak nađe nešto novo! Da li, po tvom mišljenju, neko s ovakvim shvatanjem matematike poseduje makar gram razumevanja dotične?

Shvatam šta je, po tvom mišljenju, dovoljno za osmicu (i devetku i desetku), ali nisam siguran jesam li te najbolje razumeo koliko ceniš da je dovoljno za sedam i šest. Ako dobro razumem, smatraš da sedam i šest treba da dobiju oni koji načelno razumeju gradivo, ali se tu i tamo spotaknu? Ukoliko sam te dobro shvatio, onda ništa suprotno ni ja nisam tvrdio. Ono što sam ja pokušavao objasniti da student koji ne razume ni mrvu gradiva ne zaslužuje ni šest (bez obzira na njegovu eventualnu sposobnost reprodukcije naučenog napamet). Ukoliko isto smatraš i ti, onda se slažemo u svemu, pa ne razumem uvodnu rečenicu u tvojoj poruci.

Evo i još jedne istinite anegdote. Izvesna studentkinja polaže usmeni ispit iz linearne algebre. To joj je već neki dvocifreni izlazak po redu, možda čak i preko dvadesetog. U okviru jednog pitanja treba da dokaže Koši—Švarcovu nejednakost. Izađe ona s konceptom pred profesora, a koncept joj napisan tako da ga možeš fotografisati i odmah štampati kao poglavlje u knjizi, ne moraš čak ni prekucavati! (U prevodu: savršeno uredno, bez ijednog zareza na pogrešnom mestu.) Pročita sve to profesor, i da joj dva konkretna vektora, tipa i , da ih ubaci u nejednakost, izračuna levu i desnu stranu, pa vidi da li se stvarno dobija to što nejednakost tvrdi. Ona bleji u te vektore kao da su na kineskom napisani, i nema ni najblažu predstavu šta se sad od nje očekuje! Profesor pokušava da joj objasni šta treba da radi s njima, gde da ih ubaci — ma jok, ni da mrdne! Nakon dobrih dvadeset minuta gnjavaže oko ta dva vektora, profesor prekine mučnu atmosferu rečima: „Evo šest, da vas ne gledam više“ (komentarišući činjenicu da joj je to koji već po redu izlazak).

Ja sam tad bio student koji je takođe polagao dotični ispit. Nakon polaganja, komentarišem s kolegama događaje s ispita. Svi prisutni su šokirani komentarom „...da vas ne gledam više“, nemaju reči da opišu kako je profesor ovakav i onakav kad može to da kaže studentkinji. Ja takođe smatram da komentar nije na mestu (to valjda nije ni sporno), ali mnogo veća moja zamerka postupku profesora bila je na račun toga što joj je dao šest. Njegov zadatak bio je da proveri njeno znanje, i adekvatno ga oceni. Znanje joj je vrlo brzo proverio (nije mu trebalo brzo da uoči kako ona ne zna da dva konkretna vektora ubaci u nejednakost!), ali njegova ocena bila je, po mom mišljenju, tačno za jedan veća od adekvatne. Ona je došla tu da njega zaje*ava (izvinjavam se na rečniku — tim rečima sam to pokušavao da objasnim kolegama koji su se i dalje zblanjavali povodom profesorovog komentara, potpuno ispuštajući iz vida drugi problem — pa zato i sada prenosim priču onako kako je tekla), došla je da se pravi da zna nešto o čemu najblažeg pojma nema, a on je bio meka srca da joj pokloni ocenu koju nije zaslužila, na račun dvocifrenog broja izlazaka. Kad se već tako izdešavalo, povodom pomenutog zaje*avanja njega od strane dotične studentkinje, oteo mu se i taj nesrećan komentar, koji nipošto nije na mestu, ali smatram da je od tog što je rekao daleko strašnije ono što je upisao u indeks.

Nedeljko, dakle, koju ocenu, po tvom mišljenju, zaslužuje ova studentkinja?

Nije poenta šta ću ja misliti o tebi. Ne poznajem te (verovatno), ne poznaješ ni ti mene (takođe verovatno), pa je potpuno irelevantno šta jedan od nas dvojice misli o ličnosti onog drugog. Smatram da imaš suštinski problem s pristupom materiji, i da upravo zbog tog pristupa imaš problema s ovim ispitom. Potrudio sam se da što bolje mogu ukažem na problem, i pokazao sam na osnovu čega u tvojim porukama se taj problem uočava. Ti me, s jedne strane, možeš poslušati i poraditi na tome. Zahtevaće poprilično krvi i znoja, ali višestruko će se isplatiti, ne samo kroz ovaj ispit već i kroz sve naredne. S druge strane, ti možeš i vrlo pažljivo ignorisati sve ovo što sam napričao. Verovatno ćeš i na taj način položiti ovaj ispit pre ili kasnije, ali će doći i drugi ispiti, i posle dovoljnog broja ponavljanja iste pesme zaključićeš da nešto tu ne štima. Dakle, ti sam vidi šta ćeš, a ja se sigurno neću sekirati što te moje mišljenje brine kao lanjski sneg.

Bojane, tvoj stav je zasnovan na bukvalnom tumačenju te rečenice, a moj na osnovu onoga što mislim da je pisac hteo da kaže. Dakle, poenta je da on smatra da profesor zadaje isključivo trik zadatke na ispitu i da je to sve što je pisac hteo da kaže. Stoga iz te rečenice ne zaključujem ništa o njegovom razumevanju matematike.

Što se pomenutog komentara profesora tiče, ja mu ne bih ništa zamerio na tom komentaru jer je osoba kojoj je komentar bio upućen izašla presrećna iz sale zbog svega. No, slažem se da nije smeo da joj da prelaznu ocenu. Najbolje bi bilo da ju je oborio i posavetovao da napusti taj fakultet, uda se i zaposli, bez ikakvih negativnih komentara. Znam slučaj profesora u nekoj školi kome je učenik koji nije mogao kod njega da dobije prelaznu ocenu pretio da će na njega baciti bombu. Profesor mu nije dao prelaznu ocenu, a kada je učenik došao da se izvini i da pita šta da radi, profesor ga je savetovao da se zaposli. Učenik je tako i postupio i posle je bio zahvalan profesoru jer bi se inače samo mučio sa tom školom itd.

darence

Savetovao bih te da ne odbacuješ tek tako mišljenje nekoga ko svoje stavove obrazloži, već da ih razmotriš i zauzmeš svoj stav o tome (ne moraš da se složiš).

Ako sam dobro razumeo reč je o PMF Novi Sad. Ako je tako da li je u pitanju profesor što non stop preko ramena viri u beleške koje diskretno stavi na katedru pri ulasku na čas? (Ne mislim na Sinišu - on sve prepisuje od slova do slova).


Ovo ti je kao asistentu neprimereno, čak i uz izvinjenje:

Student sigurno ne izlazi na ispit radi toga.



Nije "trik" u tome da li profesor daje ili ne daje trik zadatke. To je nebitno. Bitno je usmeravanje i vodjenje nastave tako da se studentu zadaci javljaju kao trik zadaci.

Inače, ima jedna fora sa tim "trik" zadacima. Ispit se mnogo lakše položi nego ako student zaista savlada gradivo. Dovoljno je nabubati trikove i zaista vam nisu potrebni koferi sa sveskama i knjigama na kolokvijumu.

U smislu metodologije BG MATF je otišao dalje od PMF NS. Zašto? Zato što se pismeni ispit na MF manje zasniva na trik zadacima a više na veštinama baratanja matematičkim simbolima. Zadaci su uskladjeni sa predavanjima (moraju se znati definicije i osobine mat. struktura) i vežbama i rešavaju se pravilnim razvijanjem izraza i to sigurno daje bolje rezultate nego trikovi. Naravno, imaju i oni svojih "bisera" kao što sam već naveo primer. Medjutim sumirano MATF "proizvodi" bolje matematičare (ali je i obimniji) od PMF. Gledano iz tog ugla ne vidim razloga da se zadatak iz uvoda teme ne reši jednostavnim razvijanjem leve i desne strane.

Razumeli smo se.

Nedeljko: iz konkavnosti logaritamske funkcije sledi...
Darence: a kako smo to zaključili???

I tako bar dva do tri puta.
Iz navedenog sledi da se ne zna da je logaritamska funkcija konkavna ili još gore da se ne zna ili ne razume definicija konkavne/ konveksne funkcije.
Kako je položena Analiza I, II...?

Ovde se ne radi ni o kakvim trik zadacima, već su u pitanju klasični primeri primene Jensenove nejednakosti.

Evo testa koji je napisao srednjoškolac:
http://hrcak.srce.hr/index.php...lanak&id_clanak_jezik=6636
Svi traženi zadaci su ovde urađeni.

Ne razumem koji je to bio "trik" zadatak?



_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 15.11.2011. u 17:35 GMT+1]}

Isti trik koji ti primenjuješ. Daješ link PMF u Kragujevcu a onda to povezuješ sa nekim linkom ko zna gde.

Ja tamo ne vidim nijedan od traženih zadataka.

Ja vidim da je zadatak broj 9 urađen (kao i svi ostali) i jedan je od najtežih koji je Darence tražio.


_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 15.11.2011. u 21:00 GMT+1]}

To nije taj zadatak.

Rešenje zadatka koji je Darence postavio dana 13.11.2011. u 14:44 je zadatak broj 9 u navedenom linku.

Zadatak broj 9 koji ti stalno spominjes je nejednakost: . To nisu iste stvari.
U resavanju 9 zadatka se dobija (izmedju ostalog) nejednakost: , koja je dosta slicnija darencovoj, al ponovo, nije trazena nejednakost.

Da sam hteo nekoga konkretnog prozivati, lepo bih naveo ime i prezime. Ovako sam naveo onoliko informacija koliko je bilo neophodno za priču. Tačno je da pominjanje linearne algebre prilično sužava izbor, ali i dalje postoji više ljudi koji su u nekom momentu života predavali linearnu algebru, pa ipak ne možeš sa sigurnošću jednoznačno identifikovati pomenutog profesora. A ja prosto ne želim da potvrđujem ili opovrgavam tvoje pretpostavke.

Poenta sa trikovima je da ih ima beskonačno mnogo. Nauči ih koliko hoćeš. Kada dobiješ zadatak sa nekim trikom koji nije iz spiska koji si naučio, možeš da se slikaš.

Evo jednog rešenja za nejednakost

za .

Neka je , i , , , , i . Tada je i , a data nejednakost se može zapisati kao

za .

Jasno je da je vrednost jednaka , odakle sledi da mora biti , pri čemu je jednakost moguća samo za . Treba samo dokazati da je

.

Računanjem drugog izvoda dobija se da postoji konstanta tako da je za funkcija konveksna na primer na intervalu (koristiti rastavljanje ), tako da za i imamo da je funkcija na intervalu koji obuhvata i konveksna.

Lično smatram da ovakvo rešenje nije primereno za ispit ako je tako nešto predviđeno kao zvanično rešenje, mada ne mogu da tvrdim da ne može prostije.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 16.11.2011. u 12:22 GMT+1]}

Mozda ponekad nije loše da se vratimo na neku staru temu, kao što je ova.
Ovaj razgovor bio mi je veoma interesantan. Ukratko, slazem se sa Nedeljkom.

Lično smatram da je za jednog profesora matematike najveća avantura da kroz svoj profesionalno-metodički rad dodje do toga da učenicima postane zanimljivo ono gradivo koje on predaje, a ne da se stvaraju odredjeni animoziteti prema materiji koju on predaje. Imao sam prilike upoznati takvog jednog profesora na fakultetu u Sarajevu.
Ako se spustimo na nivo osnovne i srednje skole, prema jednom istraživanju u Zrenjaninu, učenici matematiku redovno posmatraju kroz ličnost nastavnika.

Profesor (asistent) koji kriterije za prolaznu ocjenu digne na taj nivo da svaki drugi put na oglasnoj ploči pročitate rezultate ispita "niko nije polozio", po mom dubokom uvjerenju i nije neki metodičar.Profesor koji je umjeren, koji ne pravi ekstremnu razliku izmedju zadataka na ispitu i zadataka koji se obradjuju na vjezbama (predavanjima) i profesor koji kroz svoj rad ima taj filing i vještinu da učenicima gradivo koje predaje učini zanimljivim uvijek će prenijeti vise znanja učenicima od profesora koji ima nema pomenute osobine.

Pazite, ovdje se radi i o moralnim principima. Profesor za svoj rad prima platu.

Same nejednakosti vrlo se cesta oblast na matematičkim olimpijadama. Prvi put se pojavljuju na olimpijadi u Mađarskoj 1961 godine. Radilo se o sledećoj nejednakosti:

Ako su a, b, c stranice trougla, a P površina pokazati da vrijedi

Bojanu bih napomenuo da, mada ne znam kakva je situacija u Novom Sadu, u Beogradu sam se nagledao rezultata na oglasnoj tabli da "pismeni ispit iz X u ispitnom roku Y nije položio niko". Smatram da to onda jeste krivica predmetnog nastavnika.

Takođe, kada student ne zasluži prelaznu ocenu, a nije u pitanju nekakav sticaj okolnosti, tj. može se govoriti o krivici za to, postoje tri mogućnosti:

1. Student je sam kriv za to.
2. Za to su krivi student i profesor.
3. Profesor je sam kriv za to.

Imao sam jednog profesora, čija su se predavanja većim delom svodila na mahanje rukama (što zaista ne smatram matematikom i zbog čega nisam odabrao taj fakultet). Slabo sam šta uspeo da razumem i nisam uspevao da položim kod njega. Smatram da to spada pod slučaj 2, jer je postojala debela knjiga na engleskom iz te oblasti, koju eto nisam hteo da pročitam.

Takođe, bio je svojevremeno jedan asistent iz kompleksne analize, koji bi na vežbama zadao zadatak sa rečima:

Kod dotičnog je mislim u čak dve generacije uspeo da položi samo jedan student, koji je sada cenjeni profesor sa katedre za analizu na dotičnom fakultetu i to sa ocenom 7-8. Smatram da je to slučaj pod 3. Slažem se da najviše ima slučajeva pod 1, ali veruj mi da ima i drugih.

Ako se saberu tri kosinusne teoreme, dobija se


sto posle sredjivanja daje


Koristeci formule ... dobija se da je .
Dakle treba pokazati da je u trouglu . Ja sam ovo dobio stavljajuci npr. da je i trazeci onda minimum funkcije ali pretpostavljam da ima neki "lepsi" nacin...

Slazem se, Nedeljko, da je najviše prisutan slučaj 1, ali i ni slucaj 2 nije rijetka pojava.

Moze i ovako:

Podjimo od Heronove formule za povrsinu trokuta



Jasno je da su svi faktori pod korijenom pozitivni, pa zbog toga iskoristimo najprije nejednakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredine, a zatim izmedju aritmetičke i kvadratne sreine.Imamo:



Malo sam skratio postupak :) Ideja od darkosos je bila dosta zahtjevnija i zanimljivija.

Može i na standardnu foru sa smenom za ivice trougla.

,
,
,

za neke .

Površina je po Heronovom obrascu jednaka

.

Sa druge strane je

.

Dakle, nejednakost se svodi na

,

odnosno

,
,
,
.

Obzirom da po Mjurhedovoj nejednakosti važi

,
,
,

tvrđenje sledi.

Ime? Moze i na PM naravno.

Kao student Matf-a u Beogradu, mogu da iznesem svoje zakljucke. Cake i Matematicka Gimnazija koju sam zavrsio su mi pomogle na brojnim ispitima. Nijedan ispit nisam mogao da polozim samo uz pomoc toga. I to je sasvim u redu i smatram da i treba tako da bude.
Licno sam bio jako kivan na jednog profesora ove godine. Kolokvijume sam polozio sa lakocom kod asistenta. Na ispit me je bilo strah da izadjem. Zbog toga sto je jedan od, kod studenata, najozloglasenijih profesora. Za samo jedno predavanje predje toliko gradiva, koliko, cini mi se, neki prodju za citavu godinu.Zbog toga nisam ni ucio. Kad sam krenuo da ucim, ali zaista da ucim, istrazujem malo konkretnu oblast na internetu, u biblioteci, shvatio sam da covek predaje onako kako se predaje na trenutno vodecim univerzitetima. Njegovo predavanje je samo mapa stvari koje student treba sam da nauci. Skripta je uskladjena sa materijalima koje sam nasao na netu, a poticu sa Kembridza i Oksforda. Medjutim, kod njih je to odradjeno sa mnogo vise primera i dato je mnogo vise ideja i postupaka, detalja. Zbog toga, a i slicnih stvari, predavanja i vezbe uglavnom ne pratim, jer mi je mnogo lakse da citam i ucim sam.Taj ispit sam polozio u svom prvom izlasku na isti. Trebao je samo otvoren um i mnogo rada. Ono sto hocu da istaknem jeste da studenti panice i preuvelicavaju. Nekad i sa razlogom. Nekad i bez razloga. Jako cesto to rade i time samo otezavaju sebi skolovanje. Odustaju pre vremena. Govorim iz licnog i primera mojih brojnih kolega. Kod njega, jako mali broj studenat uopste i izadje na ispit, pa samim tim i polozi. Vecina odustane, prenese predmet u sledecu godinu i ceka "lakseg" profesora.
Takodje, u talenat ne verujem. Mislim da se voljom i radom sve moze postici. Cak bih se usudio reci da je talenat u stvari produkt celokupnog minulog rada vezanog za odredjenu oblast. Recimo ja ne razlikujem g od c dura, da me ubijes. Jer se tome nikad nisam posvetio. Odmalena sam se bavio matematikom, sa 4 me deda naucio sabiranje, oduzimanje i tablicu mnozenja do 100. Metodom njegovog ponavljanja i mog pokusaja i greske. Da me je ucio da pevam isviram, verovatno sad ne bi bio na ovom forumu. Jos jedan primer je jedna koleginica koju licno poznajem. Dala je u prve tri godine ukupno jednu. Ove godine je promenila nacin ucenja, koji je bio zasnovan na bubanju sablona. Ona jednostavno nije znala kako treba da uci. Mislila je da je to sto radi, ucenje sa razumevanjem. Naucis sablon i gledas kako i gde da ga primenis. Nikad nije obracala paznju na posebne delove i smisao tog sablona. To je promenila. Posteno se namucila. Pocela je da uci sa razumevanjem, sve joj je sleglo i dala je vec 40 i kusur espb, a to su bili svi sami najtezi ispiti koje je prenosila iz pocetnih godina. U septembru ce dati, siguran sam, jos par ispita. Rezultat, za jednu godinu ce poloziti koliko i za prethodne 3. Nekad je samo potrebno vreme i pravilno usmerenje. Svakog profesora koji kaze svom studentu, ti nisi stvoren za to, promeni fakultet/udaj se/zaposli se smatram losim profesorom. Ono sto je u stvari potrebno je, da se student usmeri na pravilan nacin ucenja, da se popravi temelj koji je, nazalost, uglavnom lose izgradjen u srednjoj skoli (tu naravno ne mislim na MG i jos par jako kvalitetnih skola, mada ima ljudi koji i odatle izadju bez znanja), da se napravi jedan kurs koji ce se baviti pravilnim nacinima ucenja matematike, kroz razumevanje osnovnih koncepata i ideja, njihove primene na primerima, osmisljavanje novih ideja i kombinovanje starih, nacine ucenja teorije, koja je nekad zaista obimna i tesko je nositi se sa njom. Ukoliko neko zeli da nauci, da se posveti tome, ko je profesor onda da mu namece svoje misljenje?
Nadovezacu se na moju recenicu ". . . predavanja i vezbe uglavnom ne pratim, jer mi je mnogo lakse da citam i ucim sam." Veliki broj profesora ne pokazuje ni trunku entuzijazma dok predaje. Zbog toga i ne pratim predavanja/vezbe. Jer stalno cujem jedan isti monoton glas, kako bez trunke zivosti raspreda o necemu na sta se teskom mukom koncentrisem. Primer, kad smo radili Gausovu teoremu o egregiumu, niko nije spomenuo analogiju i primer sa drzanjem parceta pice u ruci, koji je opste poznat i neverovatno lepo docarava situaciju. Nema promene boje glasa, dramske pauze, neke zive energije. Cesto se predavanja i vezbe svedu na to da profesor/asistent prepisu svoje beleske na tablu, daju par komentara i to bi bilo to. Smatram da odredjeni profesori ne zele da se angazuju oko studenata. Najcesce, lepotu u stvarima koje ucim moram da pronadjem potpuno sam, bez da mi profesor na to ukaze i time me dodatno motivise.
Ima naravno i retkih inspirativnih predavaca koji umeju da pokrenu i zainteresuju studenta. Njima zahvaljujem, jer imam na koga da se ugledam.
A sto se tice srednjoskolskih takmicenja i caka, iza toga samo stoji ogroman rad. Prepoznati odjedjenu foru, caku, u stvari znaci imati veliko iskustvo sa tim, pa dodje nekako prirodno da se, eto bas to uradi. Ukoliko profesor preferira takve zadatke, prilagodis se, vezbas, skupis iskustvo i polozis.
Cesto na mom, a i na drugim fakultetima ne razumem rat izmedju studenata i profesora. Obe strane dele isti cilj. Potrebno je mnogo vise price i obostranog rada i angazovanja da bi se te ratne sekire zakopale, studenti dobili znanje, a profesori studente kakve zele. Mislim da profesori nemaju toliko pravo da krive svoje studente za nerad, a studenti profesore za preobimno gradivo i preteske zadatke. Mogli bi malo vise da cenimo i postujemo jedni druge.

Ako govorimo o greskama profesora, onda treba reći da neki profesori matematike jesu profesionalci i vrsni poznavaoci one materije koju predaju, pa, ako hoćete, i matematike općenoti, ali su loši metodičati.

Znati matematiku je jedna stvar, a znati prenijeti znanje koje posjedujete učenicima je nešto sasvim drugo.

@Milosh Milosavljevic1
Ovo sto si napisao, i sa cime se uglavnom slazem, me malo podsetilo na mene, u sledecem: i mene je deda rano naucio da racunam, ali tu se sada ne slazem sa tobom da nije potreban talenat. Odnosno, nazovimo to prirodnom sklonoscu ili vec kakogod, a potreban je i neki unutrasnji motiv da se neko posveti tako necemu, posebno dok je jos dete... Dakle, mora postojati sila privlacenja izmedju matematike i osobe :) I kao sto neko moze da postigne visoke rezultate u sportu zato sto mu gradja i mentalni sklop to dozvoljavaju to vazi i za matematiku (u pitanju bi bila gradja mozga :) ). Naravno, talenat nije neophodan da bi zavrsio fakultet - to i nije bas neki vrhunski rezultat...

I druga stvar koju sam hteo da prokomentarisem je u vezi znanja "kako uciti". E da je meni neko bio to da objasni. Doduse ja sam studirao 90ih kada nije bilo toliko dostupnih znanja i uopste, nismo uceni da sami bilo sta istrazujemo. Ali svakako nisam imao pojma kako da ucim. A nisam imao pojma jer to do fakulteta prakticno nisam ni radio - osim kada je trebalo da popravim keca :) Dakle, taj "kurs koji ce se baviti pravilnim nacinima ucenja matematike" bi meni tada bas leg'o. Mislim, zavrsio sam ja i ovako, jer me sve to strasno zanimalo, ali bi mozda postigao "bolje rezultate", a i lakse dolazio do njih. Mada, tada bi mozda zavrsio kao matematicar profesionalno, a ovako je to sada samo hobi. U svakom slucaju, imas veoma dobar pristup...

I na kraju, kao sto niko studente ne uci kako se uci, tako i niko profesore ne uci kako se predaje, i zato je sve to tako.

Nacin na koji ucim ima i dobre i lose strane. Dobre strane su to sto ucim sa razumevanjem i kad polozim ispit, znam da je to zasluzeno. Takodje znam da cu sigurno poloziti. Lose je to sto retko kad dobijem najvisu ocenu, jer cesto previse odem u detalje i ne stignem da sve naucim jednako kvalitetno. Uzrok ovoga je naravno obimno gradivo, ali cesto i moja nedisciplina. Recimo, jednom mi se desilo da sam pred usmeni ispit imao 62/65 poena i naucio sam kvalitetno 70% gradiva za usmeni. Medjutim, oba pitanja na usmenom su mi bila iz slabijih 30% i profesor mi je dao par poena na poznavanje osnovnih koncepata, teorema i primene, ali nisam imao u glavi potrebne dokaze, leme za dokaze i sl. i dobio sam 7, sto je ocena koju dobijes kad imas izmedju 61 i 70 poena. Dakle, koju sam zasluzio jos i pre usmenog. Moram reci da se divim studentima na mom fakultetu koji iscrpno sve nauce i sve stignu.

Složio bih se sa Darkom da je osim truda potreban i talenat, ali ne samo za vrhunske rezultate, nego i za fakultet. Taj talenat za završavanje fakulteta nije bogznašta, ali je potreban u nekoj meri. Sve ostalo je rad, rad, rad i rad.

Miloš je u velikoj meri u pravu, ali preteruje. Za rešavanje olimpijskih zadataka "fore" nisu dovoljne, ali su bez njih takmičaru šanse praktično nikakve. Upravo na ovoj temi sam ilustrovao šablonsko reševanje jednog olimpijskog zadatka. Međutim, taj zadatak je postavljen pre više od pola veka. Od onda su zadaci jako otežani, jer se uzima u obzir da takmičari znaju "fore", mada se zadaci mogu rešiti i bez njih, ali mnogo teže. Sa "forama" je jako teško, a bez njih "nemoguća misija".

Nedeljko, slazem se da za resavanje olimpijskih zadataka fore nisu dovoljne. Moj cimer u internatu tokom srednje skole je bio olimpijac I osvajac medalje, (Rade Spegar), znam koliko je truda I rada ulozio u to. U drugom razredu srednje je vec pomno izucio I proucio gradivo Linearne Algebre I Matematicke Analize(Celokupno gradivo prve godine Matfa iz ovih oblasti), Funkcionalnih jednacina. Resavao je I neverovatno teske zadatke iz geometrije najrazlicitijim metodama, kompleksnim brojevima, izometrijama, inverzijom, elementarno. Radio je svakodnevno po sest ili sedam sati, van skolske nastave I programa da bi to postigao. Secam se knjige, koja se cini mi se zove IMO Compendium, odakle tada nisam umeo skoro nijedan zadatak da resim, a on je odradio skoro sve zadatke odatle. Sada studira na Stanfordu.
Ono sto sam zeleo reci, da nijedan profesor, zasigurno nece dati sve same olimpijske zadatke na ispitu, mozda eventualno do tezine republickog takmicenja(na kojem dolaze zadaci koji su pre cetrdesetak godina bili olimpijski) I to jedan, u najgorem slucaju dva zadatka, jer time nista ne bi postigao. Svi student bi pali ispit. A vec sam rekao da su studenti skloni panici I preuvelicavanju, tako da razumem brigu Darence-ta, I sam sam kroz istu prosao.

Ma, naravno da svako ko je nešto međunarodno zapaženo postigao da se odrao od rada. Međutim, tvom cimeru je osim toga bio neophodan i talenat.

Mislim da smo se razumeli.

Jesmo, s tim, da ja smatram da se covek ne radja sa talentom. On taj talenat stice radom, pocev od trenutka kad se njegov mozak dovoljno razvije da samostalno misli i zakljucuje.

Čovek razne sposobnosti razvija tokom života, a definicija talenta je ono što je urođeno. Nemaju svi jednake urođene sposobnosti. Eto, ja nemam sluha skoro nimalo. Mogao sam da razvijem muzičke sposobnosti donekle da sam ih forsirao. No, samo bih gubio vreme razvijajući nešto za šta nisam obdaren i što mogu da razvijem mnogo manje od nekih drugih.

U velikoj si zabludi ako misliš da se ljudi rađaju jednaki. U tom slučaju ne bi bilo evolucije.

Mislim da je ovaj bio na olimpijadi u Washingtonu...



a, b, c pozitivni

Ja bi rekao da se svi ljudi radjaju jednaki u smislu da su svi rodjeni sa izvjesnim potencijalom "za nesto" . Ali, isto tako nemoguce je da su svi rodjeni sa talentom, recimo za matematiku. U konkretnoj nauci sposobnosti i talenat vrlo su razliciti.

Takodjer su i moje sposobnosti za muziku ravne nuli ;)

Nažalost, ni to nije tačno. Primeni sve to na ukupan tok evolucije. Mnogo se lakše vidi. Za šta su amebe obdarenije od nas? Za bespolno razmožavanje? Proždiranje drugih ćelija?

Što se samog zadatka tiče, uz smenu

,
,
,

se dobija da se pod uslovom , nejednakost svodi na

.

Označimo funkciju po na levoj strani nejednakosti sa

Nejednakost je svakako tačna ako u trojci ima bar dva elementa koja nisu veća od . Pretpostavimo da je . Ako nejednakost ne važi, onda je .

Neka je . U tom slučaju imamo funkciju dve promenljive čiji je izvod na primer po jednak

.

Funkcija je opadajuća na intervalu . Dakle,

.

Uz smenu dovoljno je dokazati da je



za .

Već je dokazano da ta nejednakost važi za . Izvod te funkcije je

.

Ispitajmo kada je on negativan.

,
,
,
,
,
.

Dakle, funkcija

.

raste na intervalu , opada na intervalu i raste na intervalu . Stoga tvrđenje sledi iz

.

a, b i c su realni pozitivni brojevi.
Dokazati nejednakost:



Vrtim se već 2 sata bez uspeha.


Još jedan koji se lako uradi primenom izvoda, ali se traži rešenje na nivou Elementarne matematika.
U pravuglom trouglu hipotenuze c, dokazati da važi:



Ta i Tb su dužine težišnih duži koje odgovaraju katetama a i b.



<sub>[Ovu poruku je menjao miki069 dana 19.05.2014. u 13:48 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao miki069 dana 19.05.2014. u 13:49 GMT+1]</sub>

Nemam resenje, ali samo da primetim da u prvoj nejednakosti, mora da stoji i =, sto je ispunjeno za a=b=c.

Da, treba da stoji . Resicu prvi problem, jer nisam neki veliki ljubitelj euklidske geometrije. Dakle, zelimo da pokazemo da je . Naime, vazi . Ova nejednakost sledi iz nejednakosti za realne brojeve i , koja se moze pokazati indukcijom. Na kraju sledi iz .

Hvala Sonec.

Zaglavio sam se u dokazu ove nejednakosti indukcijom.
Onda sam ukapirao da je ona specijalan slučaj nejednakosti Koši-Švarc-Bunjakovskog, a ona se elegantno dokazuje bez indukcije.

Drugi je mnogo lakši.

Ko se zaglavi sa nejednakostima, može da baci pogled na ovaj Master rad:
http://www.dmi.uns.ac.rs/site/...r/matematika/BiljanaPavkov.pdf

Meni je pomogao.

Zapravo, ja sam znao da je ovo posledica Kosi-Svarc nejednakosti, al sam video da moze da se istera indukcijom pa nisam hteo da koristim neke fensi nejednakosti (mada je nejednakost Kosi-Svarca prilicno elementarna ako neko hoce da resava ovakve probleme).

Indukcija je ovde prilicno jednostavna, al moze se zakomplikovati ako neko krene da zaista sabira clanove posle pozivanja na induktivnu hipotezu. Tvrdjenje lako sledi za i . Pretpostavimo da nejednakost vazi za sve zbirove sa ili manje clanova (gde je ), i pokazimo da vazi za . Tada vazi

. Problem nastaje ako neko krene da sabira ova dva razlomka. Ali, nema potrebe za tim, dovoljno je na ovom mestu primeniti slucaj (tacnije, ovo bas nije najkorektnije, trebalo bi uvesti drugu promenljivu, al smatram da je jasno sta se radi) i dobijamo .

Ja sam sabirao razlomke i bilo je bez izgleda.
Koristio sam i za n=2, ali za levu stranu nejednakosti i opet je bez izgleda.
Sad je sve jasno.