Lep zadatak.

Jel znaš šta je karakteristična matrica date matrice A?
Jel znaš šta je karakteristični polinom?
Jel znaš šta su karakteristične vrednosti?

Što reče Srđan baš "lep zadatak".

Može i da se produži (ako je tačno ovo pod c):

c) Ispitati da li matrica A dopušta dijagonalizaciju?
d) Naći njoj sličnu dijagonalnu matricu B.
e) Naći matricu prelaska P, takvu da važi A*P = P*B.
f) Za svaku karakterističnu vrednost odrediti karakteristične vektore, bazu i dimeziju vektorskog prostora.
g) Naći minimalni polinom matrice A.
h) Izračunati matricu A^n
i) Dokazati matematičkom indukcijom trvđenje pod h)


Standardan zadatak sa ispita iz predmeta "Linerana algebra i polinomi" na PMF-u.
Rešenje je na oko 17 sitno pisanih stranica, A4 formata.
Ko ga uradi bez greške automatski je oslobođen usmenog dela ispita.

Karakteristični polinom matrice A formata nxn je polinom









Konačno karakteristični polinom je:



pa su karaktaristicne vrednosti matrice {-3,1,1,1}.

Minimalni polinom je

Trag matrice je

hvala puno Srdjane

al kako ovo (-3,1,1,1)???

Sopstvene vrednosti predstavljaju nule karakteristicnog polinoma, a to su u ovom primeru -3 i 1.

Da,skontao sam to,al odakle ono ostalo (1,1)??

Srdjan je napisao ispravno, al mozda konfuzno za tebe, jer . To je skup, a ne uredjena n-torka. Odnosno i

pa jeste konfuzno jer je Srdjan na kraju napiso tr(A)=-3+1+1+1=0. zato mi je bilo cudno a Hvala ti

Neka je i . Tada je .

U nasem primeru: , pa je
E sad, da li mora biti ispunjeno da je zbir nula karakteristicnog polinoma jednak tragu (ovo zakljucujem iz Srdjanovog posta), ja ne znam.

zato je tri puta. 1 je nula karakterističnog polinoma višestrukosti tri.

Uvek. (Mora)

Trag je uvek jednak sumi svojstvenih vrednosti.

Da nisam računao višestrukost ne bih dobio nula.

http://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)

Suma svojstvenih vrednosti jednaka je tragu matrice, a proizvod determinanti. To lako sledi iz Vijetovih formula i definicije karakterističnog polinoma.

Tacno tako. Potpuno sam zaboravio. Evo, lako se pokazuje za matricu reda 2. Neka je . Tada je

I onda prema Vijetovim formulama sledi da je suma svojstvenih vrednosti jednaka tragu matrice, a proizvod determinanti. (kao sto je i Nedeljko rekao)

3.[5+5] a) Odrediti sve nule kompleksnog polinoma P(u indexu 5) = ix^5 +1
b) Neka je K skup svih nula polinoma P5(x). Ispitati koje osobine posjeduje al-
gebarska struktura (K,*), gdje je * mnozenje kompleksnih brojeva.
Moze pomoc? Hvala unaprijed!