To je posledica Koši-Rimanovih uslova. Naime, realan ili imaginaran deo diferencijabilne kompleksne funkcije posmatran kao realna funkcija dve realne promenljive nije samo diferencijabilna funkcija dveju realnih promenljivih, nego i harmonijska funkcija - tj. funkcija čiji je laplasijan (zbir drugih izvoda po x i drugih izvoda po y) jednak nuli. Iz tog uslova sledi neograničena diferencijabilnost. U slučaju realnih funkcija jedne realne promenljive ovaj uslov se dvodi na to da je drugi izvod jednak nuli, odnosno da se radi o linearnoj funkciji.

Evo ti pogledaj i ovde, o višim derivacijama...

http://web.math.hr/~ungar/NASTAVA/KA/kompleksna.pdf

A u analizi 1 ja ne mogu analiticku funkciju da kazem da je mogu uvek razviti u st red?

Pa ako je f analitička na intervalu (-R,R) , odnosno postoji stepeni red takav da je ,
onda je ona beskonačno diferencijabilna () i

Ovo je za Maklorena.

Za Tejlora je potpuno analogno.

Pa zar to nije potpuno analogna prica sa kompleksnom analizom? Ako fja ima neprekidan prvi izvod negde u nekom delu kompleksne ravni onda su joj u tom delu neprekidni i 22 i 57 i 88 izvod, svi izvodi.

Donekle.

Tu je prvi neprekidan a onda i ostali.

U realnoj to ne mora da važi.

Npr. ima neprekidan prvi izvod u nuli, dok drugi nije.

Moje pitanje je da li se analiticnost drugacije definise od analize do analize?

Ja bih rekao da.

Ja znam da se u kompleksnoj do Tejlorovog reda dolazi preko Košijeve integralne formule.

Tako nešto u realnoj ne bi moglo, jer je Košijeva integralna formula stvar čisto kompleksne analize.

Žurim sad, pa ću na eventualna pitanja odgovoriti oko 3 noćas.

Kako se definise analiticka funkcija u analizi 1, a kako u analizi 2?

Analiza 1:
Za funkciju koja je jednaka zbiru svog Tejlorovog reda u okolini tacke , ili, kako se jos kaze, koja se moze razviti u stepeni red u okolini tacke kaze se da je analiticka u okolini tacke . Jasno je da ce funkcija biti analiticka ako, osim toga sto je beskonacno diferencijabilna, vazi , gde je ostatak u Tejlorovoj formuli .

Matematicka Analiza 1 D.Adnadjevic, Z.Kadelburg

U knjizi za Matematicku Analizu 2 (isti autori) nisam nasao (ne tvrdim da nema).

U realnoj analizi se stepeni red sa više promenljivih definiše analogno slučaju jedne promenljive i preko njega pojam analitičke funkcije.

U kompleksnoj analizi iz postojanja prvog izvoda sledi da postoje svi izvodi i da je štaviše funkcija analitička.

U realnoj analizi iz postojanja prvog izvoda ne sledi ni postojanje drugog izvoda.

Razlika je u Koši-Rimanovim uslovima. U kompleksnoj analizi postoji veza između realnog i imaginarnog dela diferencijabilne funkcije iz koje sledi da realni i imaginarni deo posmatrani kao realne funkcije nisu samo diferencijabilne, već i harmonijske funkcije.

Za harmonijske funkcije se dokazuje da su uvek analitičke na sličan način kao u kompleksnoj analizu - prvo se dokaže Košijeva integralna formula za slučaj konveksnih oblasti, pa onda iz Košijeve integralne formule da su i analitičke. E, odatle već sledi beskonačna diferencijabilnost.

Samo da napomenem da se realni analogon Košijeve integralne formule za realne harmonijske funkcije zove svojstvo srednje vrednosti.

Po meni odavde posto je izvod stepenog reda stepeni red i u Analizi 1 sledi da ako je funkcija analiticka ima neprekidne sve izvode.

Sad je meni jasno šta tebe buni.

I u realnoj i u kompleksnoj analizi ako je neka funkcija diferencijabilna (u nekoj tački), onda je neprekidna (u toj tački).

U realnoj analizi iz postojanja prvog izvoda ne sledi ni neprekidnost prvog izvoda, a kamoli postojanje izvoda višeg reda. Stoga diferencijabilna funkcija ne mora biti analitička.

U kompleksnoj analizi iz postojanja izvoda sledi da je funkcija analitička.

U oba slučaja, ako je funkcija analitička, odatle sledi da postoje svi izvodi, a pošto je izvod reda n+1 izvod izvoda reda n, odatle sledi da je izvod reda n diferencijabilan, onda je i neprekidan.

Sam mi je jasnije. Hvala Nedeljko. A kako da znam da ako ima izvod u nekoj tacki oblasti D, da onda ima izvod u svim tackama D? Mislim na kompleksnu analizu. Ima li neki lak zakljucak toga. Hvala jos jednom.

Diferencijabilnost na skupu tačaka se definiše kao diferencijabilonost u svakoj tački tog skupa. U principu, zadaci se rade posle teorijskih osnova i tu ti je glavna greška.

Samo sam trazio objasnjenje za boldovan deo.

Citam teoriju i imam problema. Negde pise funkcija je analiticka ako ima neprekidan prvi izvod. Negde kaze pod pojmom analiticka podrazumeva se analiticka svuda sem u konacno mnogo tacaka. Kako onda iz postojanja izvoda sledi da je i neprekidan. Kako moze biti neprekidan ako postoje singulariteti u konacno mnogo tacaka?

To nije definicija, već teorema kompleksne analize. Takođe, Gursa je uspeo da dokaže da je izvod kompleksne diferencijabilne funkcije u oblasti uvek neprekidan. To je takođe teorema.



Citiraj šta tačno piše u knjizi. Uzgred, ako je u pitanju knjiga Vojina Dajovića, možeš slobodno da je baciš.